§4．10天体的运动与能量
4．10．1、天体运动的机械能守恒二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4101所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有
EGMm1GMm122mv1mv2r12r22
当运动天体背离不动天体运动时，EP不断增大，而EK将不断减小，可达无穷远处，此时EP0而EK≥0，则应满足E≥0，即
GMm1mv20r2
例如从地球发射人造卫星要挣脱地球束缚必有
GMm1mv20R2
v1
v2
r2
r1
M
v
2GM2Rg112kmsR
图4101
我们称v112kms为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为2倍。另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对m而言，遵循角动量守恒
mvr恒量
或
mvrsi
恒量
是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律，即行星与恒星连
f线在相等时间内扫过面积等。
4．10．2、天体运动的轨道与能量
若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动，其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。i）椭圆轨道如图471所示，设椭圆轨道方程为
x2y21a2b2
y
b
av2
（ab）
O
v1M0ax
b
22则椭圆长，短半轴为a、b，焦距cab，近地
图4102
点速度v1，远地点速度v2，则有
E1GMm1GMm22mv1mv22ac2ac
mv1acmv2ac
或由开普勒第二定律：
11v1acv2ac22
可解得
v1acGMacav2acGMaca
代入E得
EGMm02a
ii抛物线设抛物线方程为
yAx2
f太阳在其焦点（
0
14A）处，则m在抛物线顶点处能量为
E
1GMm122mv0mv04AGMm1224A
可以证明抛物线顶点处曲率半径

112mv0GMm22A，则有4A得到
v08AGM
抛物线轨道能量
E1m8AGM4AGM02
y
iii）双曲线设双曲线方程为
x2y21a2b2
bcDaFc0O
C
x
图4103
22焦距cab，太阳位于焦点（C，0），星体m在双曲线正半支上运动。
如图4103所示，其渐近线OE方程为ybxa，考虑m在D处与无穷远处关系，有
E1GMm122mv0mv2cx2
考虑到当r，运动方向逼近渐近线，焦点与渐近线距FC为
FCcba2b2b
故有
11vDcavb22
或
mvDcamvb
联解得
fvr