定义法作差向量，a较繁，但最后作图可统一知识点三：向量数乘的定义记作a，它的长度与方向规定如下：⑴λa＝λa
r
rb
rrab，显然，此法作图
（1）定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，
r
r
r
r
⑵当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相反．当0时，λa＝0（2）向量数乘的运算律根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律：设、为实数，那么
r
r
r
r
r
r
⑴λμa＝λμa；⑵λ＋μa＝λa＋μa；
r
r
r
r
r
⑶λa＋b＝λa＋λb．知识点四：向量共线的条件
r
r
r
r
向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b＝a．学习结论
rr
r
r
r
r
f（1）两个向量的和仍然是向量，它的大小和方向可以由三角形法则和平行四边形法则确定，这两种法则本质上是一致的．共线向量加法的几何意义，为共线向量首尾相连接，第一个向量的起点与第二个向量的终点连接所得到的有向线段所表示的向量．
rrrrabba（2）可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量
（3）实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘．向量数乘的几何意义就是几个
相等向量相加．典型例题
rrrrrraa0bba（4）向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使＝。
rruurrruuurrruuurrrOAabOBa2bOCa3b，试判断ab例1．已知任意两个非零向量，作
uuurAB＝OB－OA＝a2b－ab＝b，
A、B、C三点之间的位置关系．解：∵且∴
uuurAC＝OC－OA＝a3b－ab＝2b，uuuruuurAC＝2AB．
所以，A、B、C三点共线．
例2如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于
M，且AB＝a，AD＝b，试用a，b表示向量点uuuruuuruuuruuur
uuur
r
uuur
r
r
r
MAMBMCMD．uuuruuur1rrab，所以解析：AMMCuuurrruuur1rruuuuruuuruuuruuur1rr21MAabDMMBMAABab所以MDba222
例3一艘船从长江南岸A点出发以5kmh的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水
的流速为向东2kmh．⑴试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；⑵求船实际航行速度的大小与方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法解析：⑴如图，设AD表示船向垂r