分别交于A，C，过点P的直线
与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．解析如图1，因为AC∩BD＝P，2，AC＝2，2
图1所以经过直线AC与BD可确定平面PCD因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，
fβ∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD所以PAPB＝，ACBD
68－BD24即＝，所以BD＝9BD5如图2，同理可证AB∥CD
图2PAPB所以＝，PCPD6BD－8即＝，38所以BD＝2424综上所述，BD＝或245答案24或245
8．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作________条．解析如图，连结对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．联想正方体的其他对角线，如连结BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD，所以对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，同理，对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，故这样的直线l可以作4条．答案49．对于四面体ABCD，下列命题中：①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面．其中正确的是________填序号．解析对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误．答案①
f10一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析将展开图还原为正方体，如图所示，则AB⊥EF，故①正确；AB∥CM，故②错误；EF与MN显然异面，故③正确；MN与CD异面，故④错误．答案①③11如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．1求证：直线EF与BD是异面直线；2若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．解1证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．2取CD的中点G，连结EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG1在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与r