应用计算机数学05DIT
（本试卷满分70分，任选14题，每题5分）
1．设ABC都是集合，若ABAC且ABBC，试证BC。证：证法1对xB，则若xA，则xAB。由于ABAC，故xAC，即xC；若xA，则xAB，由于ABAC，故xAC。又xA，只能有xC。因此，xB，总有xC，故BC。同理可证，CB。因此BC。证法2BBABBACBABC
CABCCABCACC
2．设A、B是集合，证明
ABBABBB
证：当B时，显然ABBABB，得证。
假设B，则必存在xB，使得xABB但xABB，故
与题设矛盾。所以假设不成立，故B。ABBABB3．下列命题是否成立？1ABCABC2ABCABC3ABCABB解：（1）（2）都不成立。反例如下：，（1）AC1，则ABCC1ABC。（2）A1BC1，则ABC1ABC。4设ABC是任意三个集合，则ABCABAC证：xyABC，有xA且yBC，即xA且yB但xC。于是但A从而有xyABAC故ABCABAxAB，xC，反之设xyABAC，xB，yAC，有A于是有：A且xBC，x
1
f但xC，从而xA且xBC即xyABC，于是
ABAA。BCC
由集合相等定义有：ABCABAC5．设fXY，证明：f是满射E2Yff1EE。证：（2）显然
假设f不是满射，则y0Y，使得xX，fxy0。于是
令Ey02Y，有ff1Ef，由题意得Ey0，矛盾。故f一定为满射。6．设N123，试构造两个映射f和g：NN，使得fgIN但gfIN。解：fgIN但gfIN，故f是满射，但f不是单射。于是令：
fNNf11f
1
2，gNN
Ng
1，则
fgIN但gfIN。
事实上，当
＝1时，gf1gf1g12，故gfIN。7设fXYgYZ，则若gf是是r