一叶落而知秋之至
解析几何综合题案例分析
纵观高考题，不难发现解析几何题悄然成了许多省份的压轴题之一．解析几何横跨代数
和几何，一道解析几何题目，涉及众多，很大程度上考察了学生的思维和运算能力．
解析几何是用代数方法研究几何图形的一门学科，因此它的基本特征就是数形结合．基
本方法是建立方程（组），通过方程来研究几何性质．因此从几何入手，从代数着力，是它
的基本方向。建立方程，解方程．就需要做好引参，用参，消参工作．解析几何解题思路或
从几何关系入手，或把几何关系坐标化，方程化，从代数入手，可以说它的方法是几何法和
代数法．
以下通过一个例子具体来谈：
案例
如图，在平面直角坐标系
xoy
中，椭圆
xa
22

y2b2
1a
b0的左、右焦点分别为
F1c0F2c0已知1e和e
3都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．2
（1）求椭圆的方程；
（2）设AB是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交
于点P．
（i）若AF1BF2
62
，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1PF2是定
值．
解法一：（1）分析：把两点代人，利用abc三个量的基本关系易得，注意消元和化归．
由题设知，a2b2c2ec，由点1e在椭圆上，得a
1a2

e2b2
1
1a2

c2a2b2
1b2c2
a2b2
a2
a2b2
b2
1，故c2
a21．
由点e3在椭圆上，得2
fe2a2


32

2
b2
1
c2a4


32
2
1
1a44a240a22．
故椭圆的方程为x2y21．2
（2）分析一：第二问和三问几何特征是直线与椭圆相交，所以一定要联立方程组．思路一要求
AF1与BF2，需要点AB的坐标，利用求根公式分别求出AB的坐标，即可求出m值．
解法一：由（1）得F110F210，又因为直线AF1与直线BF2平行，所以设AF1，BF2
的方程分别为myx1，myx1，Ax1y1Bx2y2y10y20．
由

x122

y12
1
my1x11
m2

2y12

2my1
1

0

y1

m
2m2m22
2
（求根公式真功）
故AF1
x112y102
my12y12
2m21mm21．m22
同理，BF2
2m21mm21②．m22
（i）由①②得，
AF1

BF2

m
m2m2
12
。解
m
m21m22

6得m222
注意到m0所以m
2．
因此直线
AF1
的斜率为
1m

2．2
（ii）分析：想求出P点坐标，难于上青天，如果看到图形中的两个三角形相似，不难想到
利用相似，结合定义进行转化，可谓柳暗花明又一村，问道于几何．
证明：因为直线AF1与直线BF2平行，
所以PBBF2即PB1BF21PBPFBF2AF1，故
PF1AF1PF1
AF1
PF1
AF1
PF1

AF1BF2AF1
BF1r