数学建模讲稿灰色预测模型GM（11）
华北电力大学科技学院数学教研室张文彬
灰色预测模型GM11
§1预备知识
灰色预测是就灰色系统所做的预测。所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的
过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为
黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。一般地说，社会
系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但
已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在
一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱
无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
平面上有数据序列x1y1x2y2x
y
，大致分布在一条直线上。
设回归直线为：yaxb，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误

差平方和Jyiaxib2最小。J是关于abyi1
的二元函数。由
J
a
J
b


i1
i1
2yi2yi
aixiaixi
bxi0b10
xiyi
xjyj




i1

i1
xiyiaxi2bxiyiaib0
0
则得使J取极小的必要条件为：
xi
x
a
xi2bxixiyi
i1
axi
byi
a


xiyi
xi2
xixi2
yi


b


yi
xi2xi
xi2xi2
xi
yi
（）1
以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。下面提一种观点，上述算法，本质上是用实际
观测数据xi、yi去表示a与b，使得误差平方和J取最小值，即从近似方程
y1x1b

y2


a
x2



b

y
x
b
中形式上解出a与b。把上式写成矩阵方程。
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f数学建模讲稿灰色预测模型GM（11）
华北电力大学科技学院数学教研室张文彬
y1
x11
令
Y


y2
y


，Y

x2x

11

ab

x11
令
B


x2
x

11

，则Y

Bba
左乘BT得
BTY

BT
B
ab

注意到BTB是二阶方阵，且其行列式不为零，故其逆阵BTB1存在，所以上式左乘
BTB1得
baBTB1BTY
（2）
可以具体验算按最小二乘法求得的结果（1）与（2）式完全相同，下面把两种算法统
一一下：
由最小二乘得结果：
方程（）方程组改写为：
a
xi2bxixiyi
i1
axi
byi
xi2xi
xi


ab



x11
x21

y1
x
1

y2
y


x1
令：
B


x2
x

（）化为
1
y1
11

，
Y



y2
y


，a


ab

Br