透视三角函数，感悟数学思想透视三角函数，感悟数学思想
数学思想方法是数学的精髓，它蕴含着数学知识发生、发展和应用的过程，对它的灵活运用，是数学能力的集中体现。三角函数中的思想方法主要有：一、数形结合思想由数到形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，拓宽思路，迅速找到解题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。例1A在02π内，使si
xcosx成立的x取值范围是（B）
ππ5Uππ424
ππ453ππUππ424
C
π5π44
D
解析作出在02π区间上正弦和余弦函数图像，解出两交点得横坐标
π
5和π，由图选C44
练习：比较si

267π，cosπta
π的大小。555
二、分类讨论思想分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例2求函数fxcos2x2asi
x10≤x≤2πa∈R的最大值。解：fxcos2x2asi
x1si
2x2asi
x设si
xt则1≤t≤1则fxFtt22atta2a21≤t≤1当a1时，Ft在11上单调递减，
f∴f
maxxFmax
tF112a
当1≤a≤1时
f
maxxFmax
tFaa2
当a1时，Ft在11上单调递增，
f
maxxFmax
tF12a1
12aa12综上可得fmaxxa1≤a≤12a1a1
练习：设fxcosxasi
x
2
πa10≤x≤，用a表示fx的值。422
三．方程思想从分析数学问题中的变量关系入手，把变量之间的联系用方程来反映，然后通过解方程或对方程进行讨论，是问题得到解决。例2已知si
2αsi
2
βsi
2γ1
求证si
2αsi
2βsi
2γ≤22证明：由si
2αsi
2βsi
2γ1得
cos2αcos2βcos2γ2
由此联想到构造函数
fxxsi
αcosα2xsi
βcosβ2xsi
γcosγ2
x2si
2αsi
2βsi
2γx2
显然有fx≥0，其判别式即得
si
2αsi
2βsi
2γ28≤0
≤22
si
2αsi
2βsi
2γ
练习已r