极限的求法
极限的求法
1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限6利用无穷小的性质求极限7、无穷小量分出法求极限8、消去零因子法求极限9、利用拆项法技巧求极限10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限312、利用中值定理求极限13、利用罗必塔法则求极限14、利用定积分求和式的极限15、利用泰勒展开式求极限16、分段函数的极限
1、利用极限的定义求极限
用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这
种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限
值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是
密切相连的。
例：limxx0
f
xA的εδ
定义是指：ε＞0，
δδx0，ε＞0，0＜xx0
＜δfxA＜ε为了求δ可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放
大｜fxA｜≤φx必然保证φx为无穷小，此时往往要用含绝对值的不
等式：
｜xa｜xx0x0a≤xx0x0a＜｜x0a｜δ1域xaxx0x0a≥x0axx0＞x0aδ1从φx＜δ2，求出δ2后，
取δ＝mi
δ1，δ2，当0＜xx0＜δ时，就有fxA＜ε
1
f极限的求法
例：设
lim

x


a
则有
lim

x1

x2x

a

证明：因为
lim

x


a
对


0，N1

N1
当



N1
时，x
a
2
于是当



N1
时，x1

x2


x

ax1

x2


x

a
0
其中
A
x1

ax2
axN1
是一个定数再由
A


2
，
解得



2A
故取
N

max

N1


2A


当


N时，x1

x2


x



2
2

。
2、直接代入法求极限适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例1求

分析由于

所以采用直接代入法解原式
3、利用函数的连续性求极限
定理2：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果x0是函数fx的
定义区间内的一点，则有limxx0
fx
fx0。
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果fx是初等函数，x0是其定
义域内一点，则求极限limxx0
f
x时，可把x0代入
fx中计算出函数值，即
lim
xx0
f
x
f
x0。
2
f极限的求法
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若ux在x0连续且u0x0，
yfu在u0处连续，则复合函数yfx在x0处也连续，从而
xlimfxf或limfxflimx。
xxo
o
xxo
xxo
例：liml
si
xx2
解：复合函数x在处是连续的，即有liml
si
xl
si
l
10
2
x
2
2
4、利用单调有界原理求极限这r