线性代数练习册
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习题31（向量线性表示及线性相关性）
一、已知向量组12由向量组123线性表示的表示式为13123212243，
向量组123由向量组123线性表示的表示式为1212532132331423，
求向量组12由向量组123线性表示的表示式。解：将123由123线性表示的表示式，代入12由123线性表示的表示式中：
13123321253132314234142173
21224321253213234142323273
得12由123线性表示的表示式为14142173，223273二、判定下列向量组是线性相关还是线性无关
11111T2123T3136T
分析：线性无关与线性相关的定义：12m线性无关x11x22xmm0x1x2xm0
12m线性相关x11x22xmm0x1x2xm不全为0
再介绍一个判别12m线性相关性的简便方法：12m均写为行向量，
1
构造矩阵
A


2

，对
A
只作行初等变换，若能把
A
的最后一行化为零行，

m
则12m线性相关，否则线性无关。
1
f线性代数练习册
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11
解法一：∵
A



2
3


11
123
13
r2r1
r3r1
10
60
112
12
r32r2

10
50
110
12，∴123线性无关。1
解法二：设存在数x1、x2、x3使得x11x22x330，即
x1111x2123x31360
根据向量加法、数乘和相等的定义，可得
x1x1x1x22x23x2x33x36x30
x1x2x3x12x23x3x13x26x30
x1x2x30
x1

2x2

3x3

0

x1
3x2

6x3

0
解这个线性方程组，求得它仅有零解x10，x20，x30。因此，123线性无关。
211124T20312T330714T
11
解法一：∵
A


r