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第十章导数及其应用
一、知识导学
§101导数及其运算
1瞬时变化率：设函数yfx在x0附近有定义，当自变量在xx0附近改变量为x时，
函数值相应地改变yfx0xfx，如果当x趋近于0时，平均变化率
yfx0xfx0趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝
x
x
对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数fx在点x0的瞬时变化率。
2导数：当x趋近于零时，fx0xfx0趋近于常数c。可用符号“”记作：x
当x0时，fx0xfx0c或记作limfx0xfx0c，符号“”
x
x0
x
读作“趋近于”。函数在x0的瞬时变化率，通常称作fx在xx0处的导数，并记作fx0。
3导函数：如果fx在开区间ab内每一点x都是可导的，则称fx在区间ab可导。
这样，对开区间ab内每个值x，都对应一个确定的导数fx。于是，在区间ab内，
fx构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数yfx的导函数。记为fx或y
（或yx）。4导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设fx，gx是可导的，则
fxgxfxgx即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数
的和（或差）。
2）函数积的求导法则：设fx，gx是可导的，则
fxgxfxgxfxgx即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数
乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。
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3）函数的商的求导法则：设fx，gx是可导的，gx0，则

fx

g

x

gxfxfxgxg2x
5复合函数的导数设函数ux在点x处有导数uxx函数yfu在点x的
对应点u处有导数yufu则复合函数yfx在点x处有导数且
yxyuux
6几种常见函数的导数：
1C0C为常数
2（x
）
x
1
Q
3si
xcosx
4cosxsi
x
5l
x1x
7exex
6loga
x

1x
loga
e
8axaxl
a
二、疑难知识导析1导数的实质是函数值相对于自变量的变化率
2运用复合函数的求导法则yxyuux应注意以下几点
（1）利用复合函数求导法则求导后要把中间变量换成自变量的函数层层求导2要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混淆，一直计算到最后，
常出现如下错误，如cos2xsi
2x实际上应是2si
2x。
3求复合函数的导数，关键在于分清楚函数的复合关系，选好中r