复变函数练习题解答
一、求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指明它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论（1）
fz
1si
1z
，（2）
fz
11e1z
z
解（1）
fz
1si
1z
有奇点0
1k123L∞，因在扩充复平面上kπ
11si
fzz
有一阶零点
11k123L∞，故fz1kπsi
z
有一阶极点
11k123L∞，易见0是fz的一阶极点k123L的极限点，因而0kπkπ
不是
fz的孤立奇点
解（2）
fz
11有奇点02kπik123L∞，因e1z
z
zez1zez1′limfzlimlimz→0z→0zez1z→0zez1′1ez1ez′ez1limzlimzlimzz→0e1zezz→0e1zez′z→02ezez2
0是
fz的可去奇点，易见fz有一阶极点2kπik123L事实上limz2kπifzlim
z→2kπi
z→2kπi
z2kπiz2kπiez1z
lim
因而∞是
z2kπi1limz1zz→2kπie1z→2kπie
fz的一阶极点2kπik123L的极限点，∞不是fz的孤立奇点
二、考查函数fzx3y32x2y2i的可微性和解析性，并求出导数（如存在）
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f解因uxyx3y3，vxy2x2y2，
uu3x2，3y2，xy
33vv4xy2，4x2y，故fzx3y32x2y2i仅在两个点00满足xy44
CR条件
uvvu，，因此函数fzx3y32x2y2i处处不解析，仅在xyxy
两个点00
333327可导和可微，且f′00，f′i44444
三、求出圆z2到半平面Rew0的共形映射wfz，使符合条件f01解1．
z1
z将圆z2映为圆z11，2eiθz2i将半平面Imz20映为圆z11，故逆映射z2i
2．因z1
eiθz1z2iiθ将圆z11映为上半平面Imz20ez1
3．
wiz2将上半平面Imz20映为右半平面Rew0
z2eiθ4．上述三个映射的复合w将圆z2映为半平面Rew0，且符合2eiθz
条件f01
四、证明：级数
∑1
1∞
∞

1
1收敛，但不绝对收敛，提示，写成实部和虚部i
1
∞1
11∑1
1i2i
1
1
11
121
证
∞
因
∑1
1

1
其实部
∑1
1
1
∞
11条件收敛，虚部∑1
1绝对收敛2
11
121
1
因此级数
∑1
1
∞

1
1收敛，但不绝对收敛i
1
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f五、计算下r