2012中考数学压轴题函数平行四边形问题二
例3如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A－40、B0－4、C20三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求
S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
图1动感体验
图2
请打开几何画板文件名“10河南23”，拖动点M在第三象限内抛物线上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当D是AB的中点时，S取得最大值．拖动点Q在直线y＝－
x上运动，可以体验到，以点P、Q、B、O为顶点的四边形有3个时刻可以成为平行四边形，
双击按钮可以准确显示．思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值OA．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、
Q的上下位置关系，分两种情况列方程．
满分解答
用心爱心专心1
f1因为抛物线与x轴交于A－40、20两点，y＝ax＋4x－2．C设代入点B0－4，求得a
12
．所以抛物线的解析式为y
12
x4x2
12
xx4．
2
2如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么
MDm412SSMDASMDBmm4
2
1212
m2m．所以
2
MDOAm4mm24．
2
2
因此当m2时，S取得最大值，最大值为4．3如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQOB，PQ＝OB＝4．设点Q的坐标为xx，点P的坐标为x
1212xx4．
2
①当点P在点Q上方时，
xx4x4．解得x225．
2
2此时点Q的坐标为225225（如图3），或22525
（如图4）．
②当点Q在点P上方时，x
12
xx44．
2
解得x4或x0（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为－44（如图5）．
图3
图4
图5
用心
爱心
专心
2
f4321654321
y
1
2
3
4
x
Q4，4
P
O
12345
B
Q
考点伸展在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图6，Q2－2；如图7，Q－22；如图8，Q4－4．
图6
图7
图8
例4
在直角梯形OABC中，CBOA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝r