2012中考数学压轴题函数平行四边形问题二
例3如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A-40、B0-4、C20三点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MAB的面积为S,求
S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
图1动感体验
图2
请打开几何画板文件名“10河南23”,拖动点M在第三象限内抛物线上运动,观察S随m变化的图像,可以体验到,当D是AB的中点时,S取得最大值.拖动点Q在直线y=-
x上运动,可以体验到,以点P、Q、B、O为顶点的四边形有3个时刻可以成为平行四边形,
双击按钮可以准确显示.思路点拨1.求抛物线的解析式,设交点式比较简便.2.把△MAB分割为共底MD的两个三角形,高的和为定值OA.3.当PQ与OB平行且相等时,以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形,按照P、
Q的上下位置关系,分两种情况列方程.
满分解答
用心爱心专心1
f1因为抛物线与x轴交于A-40、20两点,y=ax+4x-2.C设代入点B0-4,求得a
12
.所以抛物线的解析式为y
12
x4x2
12
xx4.
2
2如图2,直线AB的解析式为y=-x-4.过点M作x轴的垂线交AB于D,那么
MDm412SSMDASMDBmm4
2
1212
m2m.所以
2
MDOAm4mm24.
2
2
因此当m2时,S取得最大值,最大值为4.3如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形,那么PQOB,PQ=OB=4.设点Q的坐标为xx,点P的坐标为x
1212xx4.
2
①当点P在点Q上方时,
xx4x4.解得x225.
2
2此时点Q的坐标为225225(如图3),或22525
(如图4).
②当点Q在点P上方时,x
12
xx44.
2
解得x4或x0(与点O重合,舍去).此时点Q的坐标为-44(如图5).
图3
图4
图5
用心
爱心
专心
2
f4321654321
y
1
2
3
4
x
Q4,4
P
O
12345
B
Q
考点伸展在本题情境下,以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗?如图6,Q2-2;如图7,Q-22;如图8,Q4-4.
图6
图7
图8
例4
在直角梯形OABC中,CBOA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=r