柯西不等式的证明及相关应用
摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值
一、柯西（Cauchy）不等式：
a1b1a2b2a
b
2a12a22a
2b12b22b
2aibiRi12
等号当且仅当a1a2a
0或bikai时成立（k为常数，i12
）现将它的证明介绍如下：方法1证明：构造二次函数
222
fxa1xb1a2xb2a
xb

a1a2a
x2a1b1a2b2a
b
xb1b2b
222222



2

由构造知
22
fx0恒成立

又a1a2a
0
22224a1b1a2b2a
b
4a12a2a
b12b2b
02
即a1b1a2b2a
b
a1a2a
b1b2b
222222


2

当且仅当aixbi0i12
方法2证明数学归纳法左式a1b1显然当
2时
2
即
aa1a2
时等号成立b1b2b
右式a1b1
（1）当
1时
2
左式右式
22右式a1a2
2

b
21
222b2a1b1a2b2a2b12a12b222
22
a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2左式
故
12时不等式成立（2）假设
kkk2时，不等式成立即a1b1a2b2akbka1a2akb1b2bk
222222


2

当bimai，m为常数，i12k或a1a2ak0时等号成立
f设Aa1a2ak
22
2
Bb1b2bk
22
2
Ca1b1abakbk22
ABC2
则Aak1Bbk1ABAbk1Bak1ak1bk1
222222
2C22Cak1bk1ak1bk21Cak1bk12



2222a12a2akak1b12b2bk2bk21a1b1a2b2akbkak1bk1
2
当bimai，m为常数，i12k1或a1a2ak1时等号成立即

k1时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
二、柯西不等式的简单应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的r