北约自主招生数学模拟试题一
一、选择题（本题满分48分，每小题8分）1．已知数列a
满足3a
1a
4
≥1，且a19，其前
项之和为S
。则满足不等式S
6
1的最小整数
是（）125
A．5B．6C．7D．82．O是正三棱锥PABC底面是三角形ABC的中心，O的动平面与PC交于S，PA、设过与PB的延长线分别交于Q、R，则和式
111（）PQPRPS
B．有最小值而无最大值D．是一个与面QPS无关的常数
2005
A．有最大值而无最小值C．既有最大值又有最小值，两者不等3．给定数列x
，x11，且x
1
3x
13x

，则
x
1


（）
A．14．已知acos
B．1
C．23
D．23
22πsi
πOAabOBab，若△OAB是以O为直角顶点的等33
B．
腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1
12
C．2
D．
32
5．过椭圆C：
x2y2，延长1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）32
PH到点Q，使HQλPHλ≥1。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为（）A．0
33
B．
3332
C．
313
D．
312
b
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、cb≠1，且xlogb4x4的根，则△ABC（）A．是等腰三角形，但不是直角三角形C．是等腰直角三角形二、解答题（每小题18分，共72分）7．已知abc∈R，且满足
Csi
B，都是方程logAsi
A
B．是直角三角形，但不是等腰三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
kabc≥ab2ab4c2，求k的最小值。abc
8求所有实多项式f和g，使得对所有x∈R，有：x2x1fx2x1x2x1gx2x1。9．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。10．已知a0，函数fxaxbx2
f（1）当b0时，若对任意x∈R都有fx≤1，证明：a≤2b；（2）当b1时，证明：对任意x∈01fx≤1的充要条件是：b1≤a≤2b；（3）当0b≤1时，讨论：对任意x∈01fx≤1的充要条件。
参考答案：
f一、选择题1．由递推式得：3a
11a
1，则a
1是以8为首项，公比为
1的等比数列，∴3
181
1113S
a11a21…a
166
，∴S
66
，得：13312513
3
1250，∴满足条件的最小整数
7，故选C。2．设正三棱锥PABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则vSPQR
△PQR
1S3
11PQPRsi
αPSsi
β。另一方面，记O到各面的距离为d，则321111d1r