的距离相等如图1，即OM＝ON四边形OPAR是圆内接四边形，Rt△OPN≌Rt△ORM，因此S四边形OPAR＝S正方形OMAN＝14a2
f同样地，类比到空间，如图2两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为18a3
备选变式（教师专享）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试
x2y2对双曲线a2－b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
x2y2解：类似的性质为：若M、N是双曲线：a2－b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲
线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P
位置无关的定值．证明如下：
m2
2设点M的坐标为m，
，则点N的坐标为－m，－
，其中a2－b2＝1
y－

y＋

y－
y＋
y2－
2
又设点P的坐标为x，y，由kPM＝x－m，kPN＝x＋m，得kPMkPN＝x－mx＋m＝x2－m2，
将
y2＝ba22x2－b2，
2＝ba22m2－b2
代入得
b2kPMkPN＝a2
题型3演绎推理例3设同时满足条件：①b
＋2b
＋2≤b
＋1
∈N；②b
≤M
∈N，M是与
无关的常数
的无穷数列b
叫“特界”数列．1若数列a
为等差数列，S
是其前
项和，a3＝4，S3＝18，求S
；2判断1中的数列S
是否为“特界”数列，并说明理由．解：1设等差数列a
的公差为d，则a1＋2d＝4，3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，S
＝
a1＋
（
2－1）d＝－
2＋9

2由S
＋2S
＋2－S
＋1＝（S
＋2－S
＋1）2－（S
＋1－S
）
＝a
＋2－2a
＋1＝d2＝－10，得S
＋2S
＋2S
＋1，故数列S
适合条件①，而S
＝－
2＋9
＝－

－922＋841
∈N，则当
＝4或5时，S
有最大值20即S
≤20，故数列S
适合条件②
综上，数列S
是“特界”数列．
备选变式（教师专享）
设数列a
满足
a1＝0
1且1－a

＋
1
1－1－a

＝1
1求a
的通项公式；
2
1－设b
＝
a
＋1，记

S
＝
bk，证明：S
1k＝1
1
1
1解：由题设1－a
＋1－1－a
＝1，
f1即1－a
是公差为1的等差数列．
1
1
1
又1－a1＝1，故1－a
＝
所以a
＝1－

2证明：由1得
1－b
＝
a
＋1＝

＋1－
＋1

1＝－

1，
＋1
邋
S
＝bk
k1


k1
1k
11k1
11
1
1观察下列不等式：
13
115
1117
1＋22＜2；1＋22＋32＜3；1＋22＋32＋42＜4；…；照此规律，第五个不等式是________．
1111111答案：1＋22＋32＋42＋52＋6262观察下列各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b4＝7；a5＋b5＝11；…；则a10＋b10＝________．
答案：123解析：解法1由a＋br