3
且a2a1ba则数列a
1a
是以ba为首项
2为公比的等比数列于是3
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嵩明县第一中学
吴学伟
135
f高考数学专题讲座
授人以鱼不如授人以渔让数学不再成为障碍
2a
1a
ba
1把
123
代入得3
a2a1ba
2a3a2ba32a4a3ba232a
a
1ba
23
把以上各式相加得
21
12223a
a1ba1
2ba23331322∴a
33
1baa3ab
13b2a33
解法二特征根法数列a
3a
25a
12a
0
≥0
∈N
a1aa2b的特征方程是3x25x20
Qx11x2
23
2
∴a
Ax1
1Bx21AB
13
又由a1aa2b于是
aABA3b2a2B3abbA3B
故a
3b2a3ab
23

1
三分式递推式定理3如果数列a
满足下列条件已知a1的值且对于
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135
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∈N都有a
1
pa
q其中pqrh均为常数且ra
h
1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时若a1λ则a
λ
∈N若
hpxqph≠qrr≠0a1≠那么可作特征方程xrrxh
a1≠λ

则
a

1λ
∈Nb

其
中
b

1r
1
∈N特别地当存在
0∈N使b
00时a1λprλ
无穷数列a
不存在2当特征方程有两个相异的根
λ1λ2称作特征根时则
a

λ2c
λ1
c
1

∈N
其中c

a1λ1pλ1r
1
∈N其中a1≠λ2a1λ2pλ2ra
4且a13求2a
3
例3已知数列a
满足性质对于
∈Na
1
a
的通项公式
解依定理作特征方程x
x4变形得2x22x40其根为2x3
λ11λ22故特征方程有两个相异的根使用定理2的第2部分
则有
c

a1λ1pλ1r
131112
1
∈Na1λ2pλ2r32122
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∴c

21
1
∈N55
212
11λcλ155
∈N∴a
2
21
1c
1155
5
4即a
∈N25
例5已知数列a
满足对于
∈N都有a
11若a15求a
2若a13求a
3若a16求a
4当a1取哪些值时无穷数列a
不存在
13a
25a
3
13x25变形得x210x250x3特征方程有两个相同的特征根λ5依定理2的第1部分解答
解作特征方程x1r