浅谈常见递推数列的类型及解法【摘要】数列是高中数学教学的重点而求数列通项公式又是该问题的难点，本文总结了高中数学常见的几种由递推关系式求数列的通项公式的解法【关键词】递推数列通项公式
数列是高中数学的重要内容之一，虽然在教学大纲中只有12个课时，但是在高考试题卷面中约占总分的811由于数列问题最终归结为对通项公式的研究，故数列通项公式的求解是数列中最基本和最重要的问题，也是高考对数列问题考查的热点之一近年的出题形式为先给定数列的初始项和数列通项的递推关系式，要求解出通项公式由于求解方法需要灵活的变形技巧，学生遇到此类问题常常感到困难而无从下手笔者根据自己的教学实践，以数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例，总结介绍几种常见的通项公式的类型和解法，供读者参考
类型一等差型数列已知a1和a
1a
f
，求a
解法使用累加法（即逐项相加法），再使用相关公式进行求解即a
a
a
1a
1a
2…a2a1a1f
1f
2…f1a1
≥2
读者可尝试求解以下三道难度不大的试题：①（2008天津）已知数列a
中a11a
1a
f
13
1
≥1则lim
→∞a

②在数列a
中a11a
1a
2
1
≥1
求a

③（2008江西）在数列a
中a12a
1a

l
11
则a

类型二等比型数列已知a1和a
1a
f
，
求a

解法使用累乘法（即逐项相乘法）求解，即a
a
a

1a
1a
2
a3a2a
2a1a1
≥2
例1已知a11，a
12
12
1a
≥1求
a

解由a
12
12
1a
≥1知a
1a

2
12
1
≥1，故a

2
112
112
212
21…2×212×
212×112×11a1
2
32
12
52
3…3513112
1
≥1
类型三线性递推数列：已知a1和a
1pa
q其
中pq为常数，且pq≠0p≠1求a

解法使用待定系数法转化为公比为p的等比数列后再求a
，
即把原递推公式转化为：a
1kpa
k，可求得
kq1p，再利用换元法转化为等比数列求解
f例2（2006重庆）在数列a
中，若a11a
1
2a
3
≥1，求a

解由a
12a
3
≥1设a
1k2a

k，变形得a
12a
k，与原式a
12a

3对比系数可知k3，故a
132a
3
≥
1，变形为a
13a
32
≥1，即数列a
3
是首项为a13，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式
可知a
3a132
12
1
≥1，故
a
2
13
≥1
类型四指数递推数列：已知a1和a
1paq

pq为常数且p0a
0，求a

解法对递推等式左右两边同时取对r