cos21，为解题带来了便利。
例5．已知x0y02xy1，求证：11322。xy
证明：由于x0y02xy1，可设
x1si
2ycos20
2
2
则
1x

1y

2si
2

1cos2
21cot21ta
2
32cot2ta
2
332
其中等号在x12y21时成立。2
故11322。xy
说明：含有条件不等式的证明因题而异，此题换元思想的来源在于si
2cos21和
2xy1的类比联想。当然此题也可以采用整体换元。
例6．设xyzxyz，求证：
x1y21z2y1z21x2z1x21y24xyz。
证明：
∵xyzxyz，
故可设xta
yta
zta


∵cot2cot2cot2cot2cot2cot21
∴1ta
21ta
21ta
21ta
21ta
21ta
212ta
2ta
2ta
2ta
2ta
2ta

4
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即
1x21y21y21z21z21x21
2x2y2y2z2z2x
两边同乘以4xyz就得所证之式。
说明：此题换元思想在于：在非直角三角形中，其中三个内角的正切之间有关系
式ta
ta
ta
ta
ta
ta
，它虽然没有正式提出来，但相当重要。
三．三角换元法在解析几何中的应用。
例7．一条直线过点P（3，2）与xy轴的正半轴交于A、B两点，若ABC的面积
最小（O为原点），求此时直线的方程。
解：设BAO0则OA32cot2
Y
OB32ta
，那么
S
ABC

12
OA
OB
132cot23cot2
P（3，2）X
O
619ta
4cot2
6612
当且仅当9ta

4cot
时，即ta


2S3
ABC
取最小值12。
∴
kAB

ta



ta



23
故直线方程为2x3y120。
说明：此题已知直线上的点坐标，求其方程，在于求出其斜率，即ta
。因此三角思想由
此而生，换元也顺理成章。
例7．在椭圆x24y24x上求点Pxy使dx2y2取最小。
解：设P22cossi
则
dx2y2
22cos2si
2
5cos28cos3

5

cos

45
2


15
5
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当cos


45
时，，r