高等数学下册复习提纲
第八章多元函数微分学
本章知识点按历年考试出现次数从高到低排列
复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆）
1多元复合函数高阶导数
例设zfsi
xcosyexy其中f具有二阶连续偏导数，求z及2zxyx
解
zx

f1cosx
f3exy
，
2zyx

2zxy
f12
si

y
f13
exycosxexy
f3
f32
si

y
f33
exyexy
析1）明确函数的结构树形图
x
z
uv
y
w
x
y
这里usi
xvcosywexy，那么复合之后z是关于xy的二元函数根据结构
图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x，结果中就应该有几项，而每一
项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积简单的说就是，“按线相乘，分线相加”
2）f1f3是f1si
xcosyexyf3si
xcosyexy的简写形式，它们与z的结构
相同，仍然是si
xcosyexy的函数所以f1对y求导数为
1
ff1y
f12
si

y
f13exy
所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏
3）f具有二阶连续偏导数，从而2z2z连续，所以2z2z
yxxy
yxxy
练
1
设z

x2
f
2x
y2x

其中
f
具有二阶连续偏导数，求
2x
z
2

2设zf2xygexsi
yx2y2其中f二阶可导，g具有二阶连续偏导数，
求2zxy
2多元函数极值
例1求函数fxyexyx22y2的极值
解（1）求驻点由

fxxfyx
yy

exyex

y
x2x
2y222y

2
2xexy4yex
0y0
得两个驻点00，42，
（2）求fxy的二阶偏导数
fxxxyexyx22y24x2，fxyxyexy2y2x22x4y，
fyyxyexyx22y28y4，
（3）讨论驻点是否为极值点
在00处，有A2，B0，C4，ACB280，由极值的充分条件知
00不是极值点，f000不是函数的极值；
在42处，有A6e2，B8e2，C12e2，ACB28e40，而
A0，由极值的充分条件知42为极大值点，f428e2是函数的极大值
析1）这是二元函数无条件极值问题2）解题步骤：第一步是求出驻点一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导
2
f数；第三步求出驻点的判别式ACB2，判断是否为极值点以及极大极小
2将正数12分成三个正数xyz之和使得ux3y2z为最大
解：令Fxyzx3y2zxyzr