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小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型
和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的
各种变形
知识点拨
一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；
A
B
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之
S1
S2
比；
a
b
CD
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图S1S2ab③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S△ACDS△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特殊
的平行四边形；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形
底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角相等角或互补角两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，DE分别是ABAC上的点如图⑴或D在BA的延长线上，
E在AC上，
则S△ABCS△ADEABACADAE
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fD
A
A
D
E
E
B
C
B
C
图⑴
图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系“蝶形定理”：
D
AS1
S2O
S4
S3
B
C
①
S1S2S4S3
或者
S1S3S2S4
②
AOOCS1S2S4S3
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积
问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不
规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联B系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的
AaDS1
S2OS4S3
Cb
比例关系．
梯形中比例关系“梯形蝶形定理”：
①S1S3a2b2②；S1S3S2S4a2b2abab③S的对应份数为ab2．
四、相似模型一金字塔模型
A
二沙漏模型
D
F
E
B
G
C
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fEFDA
B
G
C
①ADAEDEAF；
ABACBCAG
②．S△ADE：S△ABCAF2AG2
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形只要其形状不
改变，不论大小怎样改变它们都相似，与相似三角形相关的常用的性
质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的
相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提r