第一部分
函数图象中点的存在性问题
11
因动点产生的相似三角形问题
例12013年上海市中考第24题
如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。
思路点拨
1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．
满分解答
（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，所以AH＝1，OH＝3．所以A13．因为抛物线与x轴交于O、B20两点，设y＝axx－2，代入点A13，可得a图2
3．3
f所以抛物线的表达式为y
33223xx2xx．333
（2）由y
322333，xxx12333333．．所以ta
BOM33
得抛物线的顶点M的坐标为1
所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．（3）由A13、B20、M1
3，3
得ta
ABO
233，AB23，OM．33
OA3．OM
所以∠ABO＝30°，
因此当点C在点B右侧时，∠ABC＝∠AOM＝150°．△ABC与△AOM相似，存在两种情况：①如图3，当
BAOABA233时，BC2．此时C40．BCOM33BCOA3时，BC3BA3236．此时C80．BAOM
②如图4，当
图3
图4
考点伸展
在本题情境下，如果△ABC与△BOM相似，求点C的坐标．如图5，因为△BOM是30°底角的等腰三角形，∠ABO＝30°，因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形，AB＝AC，根据对称性，点C的坐标为－40．
图5
f例2
2012年苏州市中考第29题
121bxb1x（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点444A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直r