20102011第一学期《高等数学B1》期末考试试题解第一学期《》
一、计算题（7×8分）1、求由方程l
xye
xy
确定的隐函数yyx的导数
dy。dx
2、求lim
x→0
21cosx1x21
∫si
tdt。。3、求lim∫costdt
3x→00x20
x
4、求lim
1242
x
x
Lx
。
→∞

5、求不定积分
π
∫
11e2x
dx。
6、求定积分
∫
20
x1si
xdx。
x2
7、求方程y′2xyxe8、设f′xe
x2x→∞
的通解。
∞
limfx0求∫
0
x2fxdx。
解、1、2、
yxy′dyyxyexyexy1y′。xydxxyexyx
cosx1x2cosx121122221cosxlim824limlimlim2x→0x→0x→0x→012121241x1xxx222
∫si
tdtlimsi
x3、limcosx∫costdt
3
x→0
x
32
0x
2
x→0
0。
0
4、lim
11242
xxLx∫0x2tdtx1。
→∞


5、
1e2xt1t21v1l
Cxl
1e2x1C2v1
∫
1
dx
ext
∫
1
dt
t2u
1uv11vdu∫2dv∫u1u2v1v


。
fx22π26、∫2x1si
xdxxcosxsi
x1。0820
7、P2xQxe
x2
π
π
∫Pdxx2∫Qe∫
Pdx
dx
2
22xx2通解：yexC。22
x3fxf′xx4exlimlim0，8、limx→∞x→∞x→∞9394x
∫
∞
0
2x3fx1∞1∞xfxdx∫x3f′xdx∫x3exdx303030
∞
2
。
x2t

11t∫0tedt6t1e6
∞
t∞0


2
16
x。
二、分）证明当0x（7证、记fx
π
2
时si
x
πsi
x
2x
1。f′x
ππxcosxsi
x
2x2
。记gxxcosxsi
x。
g′xxsi
x00x
π
2
，gx在0≤x≤
π
2
严格单调下降。
gxg00f′x00x
π
2
。fx在0≤x≤
π
2
严格单调下降。
π2ππfxf00x。故当0x时si
xx。2π22
三、（10分）设抛物线yax2bxc过原点，当0≤x≤1时y≥0，又已知该抛物线与x轴及直线x1所围成图形的面积为体的体积V最小。解、由抛物线yax2bxc过原点得c0。
1。试确定abc使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转3
A∫ax2bxdx
01
1
ab122a。令A得b。3233
2
a241a24r