第十九讲
一、向量范数
范数理论及其应用
范数可以看作长度概念的推广，主要用于逼近的程度。范数可以看作长度概念的推广，主要用于逼近的程度。1向量范数定义：设v为数域k上的向量空间，若对于v的任一向向量范数定义：上的向量空间，量x，对应一个实值函数x，并满足以下三个条件：，并满足以下三个条件：时成立；（1）非负性x≥0，等号当且仅当x0时成立；（2）齐次性
αxαxα∈kx∈V
（3）三角不等式xy≤xyxy∈V。的范数，简称为向量范数。则称x为V中向量x的范数，简称为向量范数。例1x∈C
，它可表示成xξ1
1
ξ2Lξ
，ξi∈C，
T
22
x2∑ξi就是一种范数i1
证明：（证明：i）非负性
2
x2∑ξii1
1
2
≥0，
当且仅当ξi0i12L
时，即x＝0时，x2＝0（ii）齐次性（iii）yη1
xyξ1η1
2

αx2∑αξii1η2Lη
T
2

1
2

α∑ξii1
2

1
2
αx
2
，ηi∈C
T
ξ2η2Lξ
η
2
xy2∑ξiηi
i1
22
ξiηiξiηi2Reξiηi≤ξiηi2ξiηixy2≤x2y22∑ξiηi
222i1

2

2
2
fx

y2
2

2
x2y22x
2
2
2
y
2
根据Hlder不等式：不等式：
aibi≤∑ap∑ii1i1
1p
11
qq∑bi，pq1pq1aibi0i1
112
1
x
2
222
y2∑ξi∑ηii1i1
≥∑ξiηi
i1


∴xy2≤x2y
2两类向量范数
2
（1）x2xx
H
1
2
推广到
x
A
xHAx


1
2
为厄米正定矩阵（椭圆范数），A为厄米正定矩阵（椭圆范数）
当AWdiagw1
x
w2
∑wiξii1p
∑ξii112
w2Lw
，wi0
加权范数称为向量的范数。（p1）称为向量的p范数或lp范数。
1
p
（2）x
p
证明：证明：xp显然满足非负性和齐次性（iii）yη1
x
p
η2Lη
1p
T
pp
∑ξi，yi1
pp
∑ηi，xyi1p
p1
1
p
p
∑ξiηii1
1
p
xy
p
p
∑ξiηi∑ξiηi
i1i1


ξiηi
p1
≤∑ξiηi
i1


p1
ξi∑ξiηi
i1


ηi
不等式应用Hlder不等式
∑ξ
i1


i
ηi
p1

ξi≤∑ξiηii1
p1q
1
q

p
∑ξii1
1
p
f∑ξ
i1


i
ηi
p1

ηi≤∑ξiηii1
p1q
1
q
r