，P为弧ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q．求证：RS＞MQ．（1991，江苏省初中竞赛）
29．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N．以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q．求证：M，N，P，Q四点共圆．（第19届美国数学奥林匹克）30．如图，⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆，D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点．若OD与EF相交于K，求证：AK平分BC．
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2013年12月1161622024的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．填空题（共3小题）1．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于60°．
考点：三角形的五心．专题：计算题．分析：首先要抓住I是内心，即是三角形角平分线的交点，即可得∴∠DBI∠ABC，又由A1、B1、C1分别是点
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I关于边BC，CA，AB的对称点，可得IDA1DIA1，∠BDI90°，即可求得∠ABC的度数．解答：解：∵I是锐角三角形ABC的内心，∴∠DBI∠ABC，∵A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，∴IDA1DIA1，∠BDI90°，∵点B在△A1B1C1的外接圆上，∴IBIA1，∴IDIB，∴∠IBD30°，∴∠ABC60°．故答案为：60°．点评：此题考查了三角形的内心与对称性，以及直角三角形的知识．注意此题图形复杂，仔细识图，合理应用数形结合思想解题的关键．2．如图，是△ABC的内心，CAAIBC．I且若∠BAC80°，则∠ABC的大小为40°，∠AIB的大小为120°．
考点：三角形的五心．专题：计算题．
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wwwjyeoocom分析：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，由I是三角形内心，则AFAIBE，在线段BF上取点O，使FOAF，△AFI≌△OFI，从而得出IOBO，∠FBI∠OIB∠IBE∠EAB，即可求得∠ABC和∠AIB的大小．解答：解：作ID⊥AC于D，IE⊥BC于E，IF⊥AB于F，∵I是三角形内心，∴ADAF，CDCE，BEBF，ACAIADCDAIAFCEAIBCCEBE，∴AFAIBE，在线段BF上取点O，使FOAF，△AFI≌△OFI，∴∠IAF∠IOFAIIO，IOAFIOFOBF∴IOBO，∠EBI∠OIB∠IBF∠EBA，∠ACI∠IAF，∠IAF∠IOF，∵∠BAC80°，∴∠ABE40°，∴∠IBA20°，∵∠IAO40°，∴∠AIB120°．故答案为：40°；120°．
点评：本题考查了三角形的内心，内心的性质，利用性质求得结论．3．O是△ABC的内切圆圆心，∠C90°，∠BOC105°，BC20cm，则AC长为cm．
考点：三角形的五心．分析：首先根据题意画出r