力应满足平衡条件，由此可以导出平衡微分方程。如图一所示，取直角坐标系的坐标轴和边重合，各边的长度分别为dx，dy，dz。在微六面体x0面上，应力是σxτ
xyτxz；在
xdx面上的应力，
f图一根据应力函数的连续性并按泰勒级数对x0的面展开，略去高阶项，可得
x
xdxxyxydxxzxzdxxxx
同理，可由y0，z0面上的应力表示ydy，zdz面上的应力。最后，所有各面上的应力如图一示。当弹性体平衡时，P点的平衡就以微元体平衡表示。这样，就有6个平衡方程
Fx0Fy0Fz0Mx0My0Mz0
考虑微单元体沿x方向的平衡，可得
x
xdxdydzxdydzyxyxdydxdzxyyxdxdzzxzxdzdxdyzxdxdyXdxdydz0z
整理上式并除以微单元体的体积dxdydz，得
xyxzxX0（211）xyz
f同理，建立y、z方向的平衡条件，可得
xyx

yyyz

zyz
Y0
（212）
xzzZ0xyz
这就是弹性力学的平衡微分方程，其中X，Y，Z是单位体积里的体积力沿x，y，z方向上的分量。考虑图一中微单元体的力矩平衡。对通过点C平衡于x方向的轴取力矩平衡得
yx
yxy
dydxdz
dydydzdzyxdxdzzyzxdydxdyzydxdy022z22
于是力矩平衡方程在略去高阶项之后只剩两项
yxdxdz
由此可得
dydzzydxdy022
yxzy
同理可得
xzzxxyyx
这既是剪应力互等定理。它表明：在两个互相垂直的平面上，与两个平面的交线垂直的剪应力分量的大小相等，方向指向或者背离这条交线。根据剪应力互等定理，式（11）中包含的九个应力分量中只有6个是独立的，这6个应力描述了物体内部的任意一点的应力状态。
f22三维应力状态下的几何方程
uxvxyywzzuvxyyzyxzxvwzywuxz
23三维应力状态下的物理方程
1xyzE1xxyzE1zzxyE
x
物理方程的矩阵形式
000r