所求微分方程2曲线上点Pxy处的法线与x轴的交点为Q且线段PQ被y轴平分解设曲线为yyx则曲线上点Pxy处的法线斜率为坐标为0所以Q点的坐标为x0从而有
1由条件第PQ中点的横y′
y01即yy′2x0xxy′
6用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比所温度的平方成反比解
dPkP其中k为比例系数dTT2
习题1221求下列微分方程的通解1xy′yl
y0解分离变量得
1dy1dxyl
yx
l
l
yl
xl
C故通解为yeCx
两边积分得
∫yl
ydy∫xdx即
1
1
23x25x5y′0解分离变量得5dy3x25xdx两边积分得5dy3x25xdx
∫
∫
f即
5yx35x2C1故通解为y1x31x2C其中C1C1为任意常数2525
31x2y′1y2
解分离变量得
dydx21y1x2
arcsi
yarcsi
xC故通解为ysi
arcsi
xC
两边积分得
∫
dy∫dx即21y1x2
4y′xy′ay2y′解方程变形为1xay′ay2
1dyadx1axy21adx两边积分得∫2dy∫1axy1al
1axC1即y1故通解为y其中CaC1为任意常数Cal
1ax
分离变量得5sec2xta
ydxsec2yta
xdy0解分离变量得
22sec2ysec2yysecxdx两边积分得∫y∫secxdxta
yta
xta
yta
x
即6
l
ta
yl
ta
xl
C故通解为ta
xta
yC
dy10xydx
解分离变量得10ydy10xdx两边积分得10ydy10xdx即
∫
∫
10y10xCl
10l
10l
10
或10y10xC故通解为ylgC10xxy7eexdxexyeydy0解方程变形为eyex1dyex1eydx分离变量得即
eydyexdx两边积分得eydyexdx∫1ey∫1ex1ey1ex
l
eyl
ex1l
C故通解为ex1ey1C8cosxsi
ydxsi
xcosydy0解分离变量得
cosycosydycosxdx两边积分得∫dy∫cosxdxsi
ysi
xsi
ysi
x
即
l
si
yl
si
xl
C故通解为si
xsi
yC
f9y12
dy3x0dx
解分离变量得y12dyx3dx两边积分得y12dyx3dx即故通解为4y133x4CC12C110ydxx24xdy0解分离变量得即
∫
∫
1y131x4C134
4dy11dx两边积分得4dy11dx∫y∫x4xyx4x
l
y4l
xl
4xl
C故通解为y44xCx2求下列微分方程满足所给初始条件的特解1y′e2xyyx00解分离变量得eydye2xdx
两边积分得eydye2xdx即
ey1e2xC21或yl
1e2xC由yx00得l
C0C122211所以特解yl
e2x22
∫
r