2019年高中数学252等比数列的前
项和导学案（含解析）新人教版必修5
目标定位：运用分组求和法，错位相减法，裂项相消法求数列的和，弄清每一种方法对应的题型特征。（重点和难点）
1．等差数列和等比数列求和公式是什么？其公式是如何推导的？
2．等差数列和等比数列的性质有哪些？
分组转化法求和111例1已知数列c
：1，2，3，…，试求c
的前
项和．248解令c
的前
项和为S
，1111
则S
＝1＋2＋3＋…＋
＋2482
1111
＝1＋2＋3＋…＋
＋＋＋＋…＋2248

＋
211
1－22＋11－2
＝
＝

＋
2
1
＋1－2
2＋

即数列c
的前
项和为S
＝类题通法
1
＋1－22
当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前
项和
f等于拆分成的每个数列前
项和的和．活学活用
个
1．求和：S
＝3＋33＋333＋…＋333
个
3
解：数列333333，…，333
3的通项公式
a
＝10
－1．
1112
∴S
＝10－1＋10－1＋…＋10－13331
2
＝10＋10＋…＋10－331＝×3＝－101－10

13
－

3
10
10－1－273错位相减法求和
例22012浙江高考已知数列a
的前
项和为S
，且S
＝2
＋
，
∈N，数列b
满足a
＝4log2b
＋3，
∈N1求a
，b
；2求数列a
b
的前
项和T
解1由S
＝2
＋
，得当
＝1时，a1＝S1＝3；当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝4
－1，所以a
＝4
－1，
∈N由4
－1＝a
＝4log2b
＋3，得b
＝22由1知a
b
＝4
－12
22
2


－1
，
∈N


－1
，
∈N，
－1
所以T
＝3＋7×2＋11×2＋…＋4
－12＋4
－12，

2T
＝3×2＋7×2＋…＋4
－52
2

－1
所以2T
－T
＝4
－12－3＋42＋2＋…＋2故T
＝4
－52＋5，
∈N类题通法



2

－1
＝4
－52＋5


如果数列a
是等差数列，b
是等比数列，求数列a
b
的前
项和时，可采用错位相减法．在写出“S
”与“qS
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S
－qS
”的表达式．
f活学活用2．已知a
＝
，求数列a
的前
项和S
3123
－1
解：S
＝＋2＋3＋…＋
－1＋
，33333112
－1
S
＝2＋3＋…＋
＋
＋1，3333321111
两式相减得S
＝＋2＋3＋…＋
－
＋1333333111－
33
11
＝－
＋1＝－
－
＋1，13r