高等数学阶段测试
参考答案
一、填空题6761±11111121y2z22x旋转抛物面2）x2y2z22x球面3绕x轴：4x29y29z236旋转双叶双曲面绕y轴：4x24z29y236旋转单叶双曲面3
x1y2z1232121
4
72
x18y26z1
2）
244101999
x1yz45161619280859充分必要3
11x21
y
∫dx∫
0
fxydy
3）
∫
0
2
dx
∫
4x2
2x4
fxydy
5B6A7A8D9B10C
二、单项选择题1D2D3B4C三、求下列函数的一阶偏导数1
uu2xf1yexyf22yf1xexy
xy
f2
2
uuuf1yf2yzf3xf2xzf3xyfxyz
3
四、解答题
fx4x32xy01解：由，3fy4y2xy0得驻点11，11，00。
Afxx12x22，B2，C12y22，
在点11处，ACB960，且A100，f112为极小值；
2
在点11处，ACB960，且A100，f112为极小值；
2
在点00处，ACB0，对任意0a1，因为
2
ffaa2a44a20，faa2a40，所以f000不是极值。
x2ry2在该切点处的法向量为
a2b1，2rrr平面2x2yz0的法向量为
1221，依题意，
1，于是有a2b1，221得a2，b1，c3，
2解：设切点为abc，曲面z所求切平面方程为
即
2x22y1z30，2x2yz30。94
五、计算下列重积分12
134Rπ33
3
2πb3a33


4
59πR5480
5
0
六、证明题
zexy1zexy1所以证明：因为xx2yy2
x2zy2zexy
1111xyexy
11
11
2z
七、解：作拉格朗日辅助函数Lxyzl
xl
y3l
zλx2y2z25R2，建立方程组
1Lx2λx0x1Ly2λy0y3Lz2λz0zLλx2y2z25R20解得xyR，z3R，唯一可能极值点，此时u取极大值，也为最大值，其值为
uRR3R3l
35l
R。由此即得，当xyz0时，有l
xl
y3l
z≤l
33R5，
x2y2z2即xyz3≤33R5335222令ax，by，cz，即得abc5abc3≤275
5
2，
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