注意逆向思维的应用
嘉祥新一中鲁玉军
思维就是人的理性认识的过程,根据思维过程的指向性,可将思维分为:常规思维(正向思维)和逆向思维,中学数学课本中的逆向思维,中学数学课本中的逆运算、否命题、反证法、分析法、充要条件等都涉及到思维的逆向性,在数学解题中,通常是从已知到结论的思维方式,然而有些数学总是按照这种思维方式则比较困难,而且常常伴随有较大的运算量,有时甚至无法解决,在这种情况下,只要我们多注意定理、公式、规律性例题的逆用,正难则反,往往可以使问题简化,经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的敏捷性。
在数学解题中“定义法”是一种比较常见的方法,但定义的逆用容易被人们忽视,只要我们重视定义的逆用,进行逆向思维,就能使有些问题解答简捷。
例1如图已知yAsi
xA00在一个周期内的图象,求其解析式。
分析:由已知易得周期Tπ,ω2,此题的难点是定φ,而且极易出错,只要我
们逆用“五点法”的定义,则问题极易解决,其中点
0为3
“五点法”中的第三点,其相为π。即:2,3
所以
,最后定A3,所以y3si
2x。
3
3
分析法的实质是“执果索因”,要证明结论成立,只需找使结论成立的充分条件即可。
这种方法在证明题中用得较多,这也是逆向思维在数学解题中的具体运用。
例2
设
f
xta
x,
x02
,当
x1x202
时,且
x1≠x2,证明:
12
f
x1
fx2
fx1
x22
分析:要证明原不等式成立,即证
12ta
x1
ta
x2
ta
x1
2
x2
只需证
si
x1x2
si
12x1
x2
即证
2cosx1cosx2
1cos2x1x2
cosx1x22
1
si
x1x20
cosx1cos2cosx1x2
2
2
即cos2
x1
x22
cosx1cosx2
1
f(x1
x2x1
x2
cosx1
2
x2
cosx1
cosx2
0
)
即cosx1x21由已知易得:cosx1x21成立,故原不等式成立。例3已知正数a、b、c成等差数列,求证:a2bc,b2ac,c2ab也成等差数列。分析:要证原结论成立,只需证
2(b2ac)a2bcc2ab即2b2acbac2而2bac所以上式成立,所以原结论成立。
反证法就是把假设结论的反面成立,由此导出与题设、定义、公理相矛盾的结论,从而
推翻假设,肯定结论的证明方法,这种应用逆向思维的方法,可使很多问题处理起来相当简
捷。
例4有fxx2axb求证:f1、f2、f3中至少有一个不小于1。2
分析:此题直接证比较困难,但只要用反证法则较为简便。
设f11、f21、f31
2
2
2
所以f12f2f3111222
(1)
但fr