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初中数学竞赛培优讲义
初中数学竞赛练习（14）
经验归纳法
一、内容提要1．通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如①由－12＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，，归纳出－1的奇次幂是－1，而－1的偶次幂是1。②由两位数从10到99共90个（9×10），2三位数从100到999共900个（9×10），33四位数有9×10＝9000个（9×10），归纳出
位数共有9×10
1个由132213532135742推断出从1开始的
个续奇数的和等于
2等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。（到高中，大都是用数学归纳法证明）
③
1
f二、例题平面内
条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点，12第3条直线和前两条直线都相交，增加了2个交点，得1＋23第4条直线和前3条直线都相交，增加了3个交点，得1＋2＋3第5条直线和前4条直线都相交，增加了4个交点，得1＋2＋3＋4第
条直线和前
－1条直线都相交，增加了
－1个交点由此断定
条直线两两相交，最多有交点1＋2＋3＋
－1（个），
例1
这里
≥2，其和可表示为［1（
1）］×

1
1即个交点。22
例2．符号
！表示正整数从1到
的乘积，读作
的阶乘。例如5！＝1×2×3×4×5。试比较3
与（
1）！的大小（
是正整数）
解：当
＝1时，3＝3（
＋1）！＝1×2＝2
当
＝2时，3＝9，（
＋1）！＝1×2×3＝6
当
＝3时，3＝27（
＋1）！＝1×2×3×4＝24当
＝4时，3
＝81（
＋1）！＝1×2×3×4×5＝120
当
＝5时，3＝243（
＋1）！＝6！＝720
猜想其结论是：当
＝1，2，3时，3＞（
＋1）！，当
3时3
＜（
＋1）！。例3求适合等式x1x2x3＋x2003x1x2x3x2003的正整数解。分析：这2003个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从2个，3个，4个直到发现规律为止。解：x1x2x1x2的正整数解是x1x22x1x2x3x1x2x3的正整数解是x11x22x33x1x2x3x4x1x2x3x4的正整数解是x1x21x32x44x1x2x3x4x5x1x2x3x4x5的正整r