导数中的零点问题解决方法
解决零点问题需要采用数形结合思想根据函数的图像或者趋势图像找出符合题意的条件即可因此用导数判断出单调性作出函数图像或趋势图像至关重要。
一、能直接分离参数的零点题目
此类问题较为简单分离之后函数无参数则可作出函数的准确图像然后上下移动参数的值看直线与函数交点个数即可。
例1已知函数l
afxxgxxx
若关于x的方程22gxfxex只有一个实数根求a的值。
解析22l
22gxxfxeaxexxx令2l
2xhxxexx
21l
22xhxxex
令0hx则xe当0xe时0hxhx单调递增当xe时0hxhx单调递减2max1hxheee
注意这里hx的单调性不是硬解出来的因为你会发现hx的式子很复杂但是如
果把hx当成两个函数的和即2l
2xmx
xxexx
此时mx
x的单调性和极值点均相同因此可以整体判断出hx的单调性和极值点。所以21aee
注意有一个根转化为图像只有一个交点即可二、不能直接分离参数的零点问题包括零点个数问题
这里需要注意几个转化以三次函数为例若三次函数有三个不同的零点则函数必定有两个极值点且极大值和极小值之积为负数例如fx在区间01上有零点此时并不能确定零点的个数只能说明至少有一个零点若函数在区间上单调只需要用零点存在性定理即可但是若函数在区间上不单调则意味着fx在区间01上存在极值点。
在解决此类问题时常用的知识是零点存在定理和极限的相关知识但必不可少的是求出函数的趋势图像然后根据趋势图像找符合零点问题的条件即可这里需要说明一下参数影响零点的个数问题主要有两个方向一是参数影响单调性和单调区间的个数二是参数影响函数的极值或最值而通过这两个方向就可以影响函数的趋势图像进而影响零点的个数因此分类讨论思想在此类问题中必不可少。
f例2已知函数3231fxaxx若fx存在唯一的零点0x且00x则a的取值范围是
解析
231fxx有两个零点不符合题意
当0a时23632fxaxxxax若0fx则20xxa
或若0fx则20xa
此时函数在0∞上单增120fa此时在0∞上存在零点不符合题意。
当0a时若0fx则20xa若0fx则2xa
或0x此时要保证函数存在唯一的正零点则2
0fa解得2a∈∞
注意如果不是的大题没必要分类讨论做出符合题意的图像反推即可例3已知函数2l
2fxxxbx
在区间1ee
上有两个不同零点求实数b的取值范围。解析2
22221xxxxfxxx可知函数fx在01上递减在1∞上r