200620062007学年第二学期04本实变函数期末试题
（共一、填空：共10分）填空：（1．如果则称E是自密集，如果则称，
C．外测度为零的集是可测集
D．Fσ型集，Gδ型集都是可
测集5．下列集合基数为a（可数集）的是A．康托集P

B．01
E是开集，如果E′E则称E是
C．设ARAxx1x2x
xi是整数，
EE∪E′称为E的

i12

D．区间01中的无理数全体
2．设集合G可表示为一列开集Gi之交集：G称为
∩Gi，则G
i1
∞
三、（20分）叙述并证明鲁津（Lusi
）定理的逆定理四、（20分）设ER′，fx是E上ae有限的可测函数，证明：存在定义在R′上的一列连续函数g
，使得
若集合F可表示为一列闭集Fi之并集：F称为
q
∪F，则F
ii1
∞
limg
xfxae于E
→∞
五、（10分）证明limR
→∞
3．Fatou引理）f
是可测集ER上一列非负可测函数，（设则

xsi
2007
xsi
x∫01
2x2edx0
1
六、（10分）设fx是满足Lipschitz条件的函数，且
4．设fx为ab上的有限函数，如果对于ab的一切分划
f′x≥0ae于ab，则fx为增函数
七、10分）f是ab上的有界变差函数，（设证明f2也是ab上的有界变差函数

Tax0x1x
b，使∑fxifxi1成一i1
有界数集，则称fx为ab上的数集的上确界为fx在ab上的为，并称这个，记
20062007学年第二学期04本实变函数学年第二期末试题A类评分标准
（共一、填空题：共10分）填空题：（
1、EE′EE（或EE）2、Gδ型集，Fσ型集3、
00
二、选择填空：（每题4分，共20分）1．下列命题或表达式正确的是A．bbB．22
闭集，闭包
→∞
∫
E
→∞
limf
xdx≤lim∫f
xdx
E
b
C．对于任意集合AB，有AB或BAD．φφ2．下列命题不正确的是A．若点集A是无界集，则mA∞

4、有界变差函数，全变差，Vf
a
（二、选择填空：每小题4分，共20分）选择填空：
1、D2、A3、D4、B5、C
B．若点集E是
有界集，则mE∞

（三、20分）定理：设fxae有限于E，若对于任意的δ0，总有闭集FδE，mEFδδ，fx在Fδ上连续，f使且则是E上的可测函数
（5分）证对任意的正整数
，存在闭集F
E使
C．可数点集的外测度为零3．下列表达式正确的是
D．康托集Pr