数微积分章节,新学习的求解隐函数的方法,并没有在求解二阶导过程中加以继续使用,反倒是使用了函数复合类型的隐函数求解方法,是老的方法。新方法为什么不沿用?在此,教师需要通过向学生解释在此处改变求导方法的理由,并加深学生对于复合函数求导的原理的理解。学生的这两个问题,其根源是对于函数复合的理解不够明确,由此对于多元函数微分中,隐函数的求解公式理解有偏差。在之前例子中,求的二阶导数,令。得到是可以的,但这时对于求导,需要注意是的函数。即不正确,而应该注意到是的函数,这一函数复合的求导过程不可或缺。即:但是这一解释,往往还不能使得学生明了自己的知识性缺失,在了解了之前的解释之后,学生提出了第三个疑问:“如果是这样,之前求解函数一阶导数的过程中,设()10,则求偏导2就有问题,因为同样没有将看作的函数,对求导结果为0,这又是为什么?究竟什么时候需要将看作的函数,什么时候又将其视为两个不同的变量呢?而且,学生对这一知识点的疑问,是在接触到了更为复杂的练习题而产生的,更为复杂的题目加重了学生的迷惑。如笔者遇到学生列举了2007年7月高等教育自学考试全国卷高等数学(一)试题第20题:“设函数是由方程所确定的隐函数,求”。更为复杂的多元隐函数的二阶偏导加大了学生对于问题的理解难度。要解答学生这一系列的迷惑,需要教师从学生对于复合函数求导理解不够深入这一根源入手。使得学生了解到,两种隐函数的求解方法是相通的,都是基于复合函数求导计算的变形,只是第一种方法体现得更明确,而多元函数微积分这一章节中介绍的方法似乎隐藏了这一特征。因此需要详细介绍这一方法的由来:()的函数关系是由方程()0确定的,确实是的函数。于是对()0求的导数得到的是0。这是体现出了复合函数求导的特征的。而在此之后将这一等式变形为隐函数求导的公式,将和分开了,似乎不再具有函数复合求导的特征,只是推导出学生经常使用而并未深层次理解的。向学生讲解求出隐函数的二阶导数求解原理,在前面讲解的基础上,可以通过类比的方法,进行类似的变换。将一阶导函数形式视为(),然后将移项,得到()0。设方程
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()()0,即得到由“”、“”、“”三个变量构成的方程,其中,“”和“”都是“”的函数。并提请学生注意,在求导过程中是存在复合函数求导的要求的。对方程求解的导数,得到r