从阿贝尔变换看定积分分部积分公式阿贝尔变换看定积分分部积分公式
摘要通过深入了解阿贝尔变换的几何意义分析它与定积分存在某种联系经过进一步探讨摘要通过深入了解阿贝尔变换的几何意义分析它与定积分存在某种联系经过进一步探讨它与定积分存在某种联系得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。
阿贝尔变换：设有两组数akbkk123LLm为了求和数
∑ab
k1k
m
k
a1b1a2b2LLambm
引入这样，
B1b1B2b1b2B3b1b2b3LLBmb1b2LLbmb1B1b2B2B1LLbmBmBm1
把它代入和式中得
∑ab
k1k
m
k
a1B1a2B2B1a3B3B2LLamBmBm1a1a2B1a2a3B2LLam1amBm1amBm∑akak1BkamBm
k1m1
这个变换式：
∑akbk∑akak1BkamBm
k1k1
m
m1
1
就称为阿贝尔变换或和差变换。
f上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。为了简单起见，m6为例，ak≥0，以设且bk≥0k123456，且ak单调下降。这时，∑akbk在上图中就表示以bk为底，ak
k16
为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。它显然等于以
B6b1b2b3b4b5b6为底，a6为高的矩形面积，以以及以Bkb1b2LLbk
为底，akak1k12345为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。阿贝尔变换可以看作是求图形的面积，而定积分运算也是求图形的面积，因此二者之间有一定的联系。从广义上看，定积分运算和阿贝尔变换一样都是一种求和的运算。我们进一步分析。∑akbk∑akak1BkamBm（约定B00）
k1k1mm1
不妨将数项看成是函数在某些点的函数值，即设函数axBx定义在区间αβ上，
αx1x2x3LLxmβ，令
a1ax1a2ax2LLamaxmBkBxkk12Lm。
将其代入（1）式得
∑axkBxkBxk1∑axkaxk1BxkaxmBxm
k1k1
m
m1
f或
∑axk1Bxk1BxkaxmBxmax1Bx1∑axk1axkBxk
k1k1
m1
m1
2
其中Bx00。为了便于讨论，设函数axBx是区间αβr