关于椭圆中心三角形面积的最大值
邬天泉浙江三中317100
椭圆的中心与椭圆的一条弦的两个端点所确定的三角形称为椭圆的中心三角形当该三角形的面积最大的时候其弦所在的直线有些鲜为人知的特征本文用初等方法求出了椭圆的中心三角形的面积的最大值并分析了焦点弦所在的中心三角形何时能取得哪个最大值
已知直线
AxByC0
与椭圆x2a2

y2b2
1交于
PQ
两点，O
为椭圆中心，试证：当
且仅当a2A2b2B22C2时，OPQ有最大面积1ab12
证明若A0则弦PQ在直线yh上，hCbb
B
1
SOPQ

2
a2
1


hb
2

h

ab

b2h2h
a1h2b2h21ab
b2
2
当且仅当2h2b2即b2B22C2时取等号
若A0，直线PQ的方程可写成：yxm0BmCAA
代入方程b2x2a2y2a2b2，消去x并整理得：
a2b22y22mb2yb2m2a20
y1

y2


2mb2a2b22

y1y2

b2m2a2a2b22


y1y2
2

a2
4b2b22
2m2b2

a2

b22

m2a2
4a2b2a2b22m2

a2b222

记
a2b221t
又SOPQ

12
m

y1

y2


S2OPQ
a2b2m2

m2t2
t

m2

t

12m2
2

14m2

14m2

1SOPQ2ab
当且仅当t

12m2
即a2
b22

2m2
时，等号成立，
这时a2A2b2B22C2证毕
注意
当
SOPQ

12
ab
时直线
L
的特征下面仅举一个特例，一般情况留给读者思考。
f已知直线L与椭圆x23y21交于A、B两点O为椭圆中心，，若AOB的面积为2
6，则直线L不过椭圆的焦点。6
证明：这里SOAB

12
ab
6
6
c2

a2
b2
1
23

13
，焦点F1
33
0
，F2

303
假设直线L过焦点F1
30，则L的方程可写为：yx3
3，代入x23y21
3
2
消去x并整理得：23y223y20
2
3
3
设Ax1y1Bx2y2
则
y1

y2

233

2

32
y1y2

2
23

32

y1

y22

y1

y22
4y1y2

2
43

32

22
32
2
4323


32

32
2
SAOB

12

33
y1
y2

321
3
2

32
3
1

31
6

3211
326
221
当且仅当21121时，等号成立，但这是不可能的，
221
2

SAOB
66
与已知SAOB

6矛盾。6

直线L不过焦点F1
30。3
同理直线L也不过焦点F2
30。证毕3
参考文献1邬天泉《数学问题解答》第1319题《数学通报》20016，7
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