常考问题2
真题感悟
函数与方程及函数的应用
1．2013湖南卷改编函数fx＝2l
x的图象与函数gx＝x2－4x＋5的图象的交点个数为________．解析由已知gx＝x－22＋1，所以其顶点为21，又f2＝2l
2∈12，
可知点21位于函数fx＝2l
x图象的下方，故函数fx＝2l
x的图象与函数gx＝x2－4x＋5的图象有2个交点．答案2
2．2012江苏卷设fx是定义在R上且周期为2的函数，在区间－11上，fx
ax＋1，－1≤x＜0，＝bx＋2x＋1，0≤x≤1，
________．解析
13其中a，b∈R若f2＝f2，则a＋3b的值为
b＋2因为函数fx是周期为2的函数，所以f－1＝f1－a＋1＝2，
1b＋211312又f2＝f2＝f－23＝－2a＋1，联立列成方程组解得a＝2，b＝－4，2所以a＋3b＝2－12＝－10答案－10
2－x＋2x，x≤0，3．2013新课标全国Ⅰ卷改编已知函数fx＝若fx≥ax，l
x＋1，x0
则a的取值范围是________．解析当x≤0时，fx＝－x2＋2x＝－x－12＋1≤0，所以fx≥ax，化简为
x2－2x≥ax，即x2≥a＋2x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x0时，fx＝l
x＋10，所以fx≥ax化简为l
x＋1ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式fx≥ax恒成立．答案－20
4．2013天一、淮阴、海门中学调研将一个长宽分别是a，b0＜b＜a的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体
fa的外接球的体积存在最小值，则b的取值范围是________．解析b设切去正方形的边长为x，x∈0，2，
则该长方体外接球的半径为1r2＝4a－2x2＋b－2x2＋x2b1＝49x2－4a＋bx＋a2＋b2，在x∈0，2存在最小值时，必有2a＋bb＜，92
a5a解得b＜4，又0＜b＜ab＞1，5a故b的取值范围是1，4答案51，4
考题分析高考对本内容的考查主要有：1函数与方程是A级要求，但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查，是重要考点；2函数模型及其应用是考查热点，要求是B级；试题类型可能是填空题，也可能在解答题中与函数性质、导数、不等式综合考查
fr