中考数学压轴题解题策略（5）
梯形的存在性问题解题策略
《挑战压轴题中考数学》的作者上海马学斌
专题攻略
解梯形的存在性问题一般分三步：第一步分类，第二步画图，第三步计算．一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．
例题解析
例如图11，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，∠B＝90°，AD＝24cm，BC＝28cm．点P从点A出发以1cms的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cms的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动．从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？成为等腰梯形？
图11【解析】这道题目中蕴含了一个经典的判断题：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？回答是否定的．可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，区别在于另一组对边是否平行．如图12，如果四边形PQCD是平行四边形，那么PD＝QC．所以24－t＝3t．解得t＝6．如图13，如果四边形PQCD是等腰梯形，作PM⊥BC，DN⊥BC，垂足分别为M、N，那么QM＝CN．所以t－28－3t＝4．解得t＝8．
图12
图13
例如图21，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；同时点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，DE交BC于点E．设P、Q运动的时间是t秒（t＞0），在运
f动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
图21【解析】在四边形QBED中，∠B是确定的锐角，∠QDE是直角．如果要成为梯形，存在DEQB和DQEB两种情况．站在梯形的外部看梯形，问题就迎刃而解．如图22，当DEQB时，∠DQB＝90°，此时△AQP是直角三角形．如图23，当DQEB时，四边形DECP是矩形，△AQP是直角三角形．
3．5AQt3915AP3t3如图22，时，解得t．如图23，时，解得t．AP3t588AQt5
这样就转化为解Rt△AQP了．已知AP＝3t，AQ＝t，cosA解题时，只需要画出图24和图25这样的示意图就好了．
图22
图23
图24
图25
例如图，已知A、B是双曲线y
2上的两个点，A、B的横坐r