极限的唯一性数列x
不能同时收敛于两个不同的极限。定理收敛数列的有界性如果数列x
收敛，那么数列x
一定有界。如果数列x
无界，那么数列x
一定发散但如果数列x
有界，却不能断定数列x
一定收敛，例如数列1，1，1，1，1
1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理收敛数列与其子数列的关系如果数列x
收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a如果数列x
有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列x
是发散的，如数列1，1，1，1，1
1…中子数列x2k1收敛于1，x
k收敛于1，x
却是发散的同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限函数极限的定义中0xx0表示x≠x0，所以x→x0时fx有没有极限与fx在点x0有没有定义无关。定理极限的局部保号性如果limx→x0时fxA，而且A0或A0，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有fx0或fx0，反之也成立。函数fx当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即
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fx00fx00，若不相等则limfx不存在。一般的说，如果limx→∞fxc，则直线yc是函数yfx的图形水平渐近线。如
果limx→x0fx∞，则直线xx0是函数yfx图形的铅直渐近线。4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小
常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小定理如果F1x≥F2x，而limF1xa，limF2xb，那么a≥b
5、极限存在准则两个重要极限limx→0si
xx1limx→∞11xx1夹逼准则如果数列x
、y
、z
满足下列条件：y
≤x
≤z
且limy
a，limz
a，那么limx
a，对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数yfx在点x0的某一邻域内有定义，如果函数fx当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值fx0，即limx→x0fxfx0，那么就称函数fx在点x0处连续。不连续情形：1、在点xx0没有定义2、虽在xx0有定义但limx→x0fx不存在3、虽在xx0有定义且limx→x0fx存在，但limx→x0fx≠fx0时则称函数在x0处不连续或间断。如果x0是函数fx的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数fx的第一类间断点左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点无穷间断点和震荡间断点。定理有限个在某点连续的函数的和、积、商分母不为0是个在r