形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M、N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点（Ⅰ）证明：EF∥BC；（Ⅱ）若AG等于⊙O的半径，且AEMN23，求四边形EBCF的面积（201522）解析：（Ⅰ）由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB
DEF的平分线，又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AEAF，故A
在AD上连结OEOM，则OEAE，由AG等于⊙O的半径得
，从而EFBC
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分线又EF为⊙O的弦，所以O
AO2OE，所以OAE30，因此ABC和AEF都是等边三
因为
角形
AE23
，
所
以
AO4OE2
OD1

因于
为是
OM
O2E
1DM2
，3M所N以
AD5AB
10311032313163所以四边形EBCF的面积为2323232223
（201422）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B、C，PC2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E证明：（Ⅰ）BEEC；（Ⅱ）ADDE2PB2
（201422）解析：（Ⅰ）∵PC2PA，PDDC，∴PAPD，△PAD为等腰三角形连接AB，则∠PAB∠DEBβ，∠BCE∠BAEα，∵∠PAB∠BCE∠PAB∠BAD∠PAD∠
fPDA∠DEB∠DBE，∴βαβ∠DBE，即α∠DBE，亦即∠BCE∠DBE，所以BEEC（Ⅱ）∵ADDEBDDC，PA2PBPC，PDDCPA，∴BDDCPAPBPAPBPCPBPAPBPCPA，∴PBPAPB2PB2PB2
（201322）如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，
E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BCAEDCAF，B、E、F、C四
点共圆（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DBBEEA，求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值
（201322）解析：（Ⅰ）因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知
BCDC，故FAEA
△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．（Ⅱ）连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DBBA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2而DC2＝DBDA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为
12
（201222）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CFAB，证明：（Ⅰ）CDBC；（Ⅱ）△BCD∽△GBD（201222）解析：（Ⅰ）∵D，E分别r