2013年全国高中数学联合竞赛一试
一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
1、设集合A2013集合BxxA2x2A，则集合B中所有元素的和为
2、在平面直角坐标系xOy中，点AB在抛物线y24x上，满足OAOB4，F是抛物线的焦点，则OFA与OFB的面积之比为3、在ABC中，已知si
A10si
Bsi
C，cosA10cosBcosC，则ta
A的值为
4、已知正三棱锥PABC的底面边长为1，高为2，则其内切球半径为
5、设ab为实数，函数fxaxb满足：对任意x01，都有fx1，则ab的最大值
为
6、从1220中任取5个不同的数，其中至少有2个是相邻数的概率为
7、若实数xy满足x4y2xy，则实数x的取值范围为
8、已知数列a
共有9项，其中a1

a0
1，且对每个i128，均有ai1
ai
21
12

则这
样的数列的个数为
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f二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9、（本题满分16分）给定正数数列x
满足S
2S
1，
23，这里S
x1x2x
，
证明：存在常数C0，使得x
C2
，
123
10、（本题满分
20
分）在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆的方程为
xa
22

y2b2
1ab0，A1A2
分别为椭圆的左右顶点，F1F2分别为椭圆的左右焦点，P为椭圆上不同于A1A2的任意一点若平
面中有两个点QR满足QA1PA1QA2PA2RF1PF1RF2PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明。
11、（本题满分20分）设函数fxax2b，求所有的正实数对ab，使得对任意的实数xy均有fxyfxyfxfy。
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f2013年全国高中数学联合竞赛二试
一、（本题满分40分）如图所示，AB是圆的一条弦，P为弧AB内一点，EF为线段AB上两点，满足AEEFFB连接PEPF并延长，与圆分别相交于点CD求证：EFCDACBD（解题时请将图画在答卷纸上）
二、（本题满分40分）给定正整数uv，数列a
的定义如下：a1uv，对整数m1，aa22mm1aammuv，记Sma1a2am（m12），证明：数列S
中有无穷多项完全平
方数。
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f三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，
个r