圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆
的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有MF1MF22a。
椭圆的标准方程为：x2a2
y2b2

1（
a

b

0
）（焦点在
x
轴上）或
ya
22

x2b2
1（ab0）（焦点在y轴
上）。
注：①以上方程中ab的大小ab0，其中b2a2c2；
②在x2a2

y2b2
1和
y2a2
x2b2
1两个方程中都有ab0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2和y2的分
母的大小。例如椭圆x2y21（m0，
0，m
）当m
时表示焦点在x轴上的椭圆；当m
时m
表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
x2a2

y2b2
1知
x
a
，
yb，说明椭圆位于直线xa，y

b所围成的矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点xy在曲线上时，点xy也在曲线上，
所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y
方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心
叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x0，得yb，则B10b，B20b是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa，即A1a0，
A2a0是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长
f半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在RtOB2F2中，OB2b，OF2c，B2F2a，
且OF22B2F22OB22，即c2a2b2；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比ec叫椭圆的离心率。∵ac0，∴0e1，且e越接近1，c就a
越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的r