习题311验证罗尔定理对函数yl
si
x在区间5上的正确性66解因为yl
si
x在区间5上连续在5内可导且6666yy5所以由罗尔定理知至少存在一点5使得ycot06666由yxcotx0得5266因此确有5使ycot02662验证拉格朗日中值定理对函数y4x35x2x2在区间01上的正确性解因为y4x35x2x2在区间01上连续在01内可导由拉格朗日中y1y00值定理知至少存在一点01使y10由yx12x210x10得x5130112y1y0因此确有51301使y10123对函数fxsi
x及Fxxcosx在区间0上验证柯西中值定理的正确2性解因为fxsi
x及Fxxcosx在区间0上连续在0可导且22Fx1si
x在0内不为0所以由柯西中值定理知至少存在一点022使得
ff0f2F0FF2
fxf2f0令即cosx2FxFF01si
x228881易证011所以si
x1在化简得si
x224224224
0内有解即确实存在0使得22
ff0f2F0FF2
f4试证明对函数ypx2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间证明因为函数ypx2qxr在闭区间ab上连续在开区间ab内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点ab使得ybyayba即pb2qbrpa2qar2pqba化间上式得pbaba2pba故ab25不用求出函数fxx1x2x3x4的导数，说明方程fx0有几个实根并指出它们所在的区间解由于fx在12上连续在12内可导且f1f20所以由罗尔定理可知存在112使f10同理存在223使f20存在334使f30显然1、2、3都是方程fx0的根注意到方程fx0是三次方程它至多能有三个实根现已发现它的三个实根故它们也就是方程fx0的全部根6证明恒等式arcsi
xarccosx1xr