习题四
1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1223，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以XY分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求XY的分布列解的分布列为XYXY
10
21616161PY
3112160
12
其中
161312PX1Y1PX
1X
2X
1
1
0
PX1Y2PX1PY
121436
余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出XY的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故XB3
12
1PXkC3k3k0123，于是XY的分布列和边缘分布为2
YX
001818
13pi
138038
238038
1
301818
pj6828
f其中
，003113PX1Y1PX1PY1X1C31，28
PX0Y1PX0PY
1X
余者类推。3．设XY的概率密度为
16xy0x22y4fxy80其它又（1）Dxyx1y3；（2）Dxyxy3。求PXYD1316xydxdxy解（1）PxyD028x119436；8228413x16xydxdy（2）PXYD028211113x1xdx3x24dx0082y25xy3244．设XY的概率密度为
22222CRxyxyRfxy0其他222求（1）系数C；（2）XY落在圆xyrrR内的概率
解（1）1C
x2y2R2

Rx2y2dxdyCR3C
20

R0
r2drd

2R3R3，CR3C333CR3
222
（2）设Dxyxyr，所求概率为
PXYD
3Rx2y2dxdy3Rx2y2r2

2
f
3R3
2r33r22Rr23R
2r13R
5．已知随机变量X和Y的联合概率密度为
4xy0x10y1fxy0其它
求X和Y的联合分布函数解1设XY的分布函数为Fxy，则
Fxy
x

y
0x0或y0xy4uvdudv0x10y100x1fuvdudv4uydudy0x1y1001y4xvdxdvx10yr