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复变函数中解析函数的理论分析及应用
作者：王华阁来源：《山东工业技术》2013年第08期
【摘要】本文对解析函数的概念进行分析，给出了判断函数解析性的几种方法，并通过例子对解析函数的数学应用和实际应用都进行了分析。
【关键词】解析函数；解析；复变函数
0前言
复变函数这门数学分支在数学理论和实际中都有非常强大应用性。而解析函数是复变函数特有的内容，在复变函数理论中起着重要的作用，解析函数在理论和实际中都有着广泛的应用，所以对解析函数的理论及应用进行分析有非常大的必要性。
1解析函数的概念
如果函数f（z）不仅在z0处可导，而且在z0的某个邻域内的任意一点可导，则称f（z）在z0解析。
如果f（z）在区域D内的任一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
注：1）如果f（z）在区域D内解析，那么D内每一点都是它的内点，从而D是开区域。
2）如果说函数f（z）在闭圆盘z≤1上解析，指的是在包含该圆盘的某个区域内解析。
3）f（z）在z0解析，则f（z）在z0可导；f（z）在z0可导，则f（z）在z0不一定解析。但是f（z）在区域D内解析和可导是等价的。
4）一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
2函数解析的判定
21根据解析函数的定义判定
要考察函数在某一点的解析性，首先看函数在该点是否有定义，然后看函数在该点及其邻域内是否可导。
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例：因为f（z）z2在整个复平面上处处可导，且f（z）2z则由解析的定义知f（z）在整个复平面上解析。
22根据初等函数的解析性判定若复变数函数为初等函数，则可根据初等函数的解析性进行判定1）指数函数ez在整个复平面上解析；2）对数函数L
z的主值函数和各个分支在除去原点和负实轴外的每一点解析；3）幂函数zα，α为正整数时，幂函数在整个复平面上解析；α为负整数时，幂函数在除原点外的复平面上解析；α为既约分数、无理数、虚数时，在除去原点和负实轴的复平面上解析。4）si
z，cosz在整个复平面上解析；ta
z，cotz，secz，cscz在各自的定义域内解析5）shz，chz在整个复平面上解析。23根据定理判定定理：函数f（z）u（x，y）iv（x，y）在区域D内解析的充分必要条件是：u（x，y），v（x，y）在D内可微，并且在区域D上满足柯西黎曼方程：■■，■■定理：函数f（z）u（x，y）iv（x，y）在区域D内解析的充分条件是：ux，uy，vx，vy在D内连续，并且u（x，y），v（x，y）在区域D上满足柯r