全等的难题（2012岳阳）（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF；然后由全等三角形的对应边相等知AFBD；（2）通过证明△BCD≌△ACF，即可证明AFBD；（3）Ⅰ．AFBF′AB；利用全等三角形△BCD≌△ACF（SAS）的对应边BDAF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′AD，所以AFBF′AB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AFABBF′；通过证明△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′AD（全等三角形的对应边相等）；再结合（2）中的结论即可证得AFABBF′．解答：解：（1）AFBD；证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BCAC，∠BCA60°（等边三角形的性质）；同理知，DCCF，∠DCF60°；∴∠BCA∠DCA∠DCF∠DCA，即∠BCD∠ACF；在△BCD和△ACF中，
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，∴△BCD≌△ACF（SAS），∴BDAF（全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AFBD（全等三角形的对应边相等），所以，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AFBD仍然成立；
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f（3）Ⅰ．AFBF′AB；证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BDAF；同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′AD，∴AFBF′BDADAB；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AFABBF′；证明如下：在△BCF′和△ACD中，，∴△BCF′≌△ACD（SAS），∴BF′AD（全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AFBD；∴AFBDABADABBF′，即AFABBF′．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．等边三角形的三条边都r