例谈空间几何体的表面积和体积
空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下．1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用．例1粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图1），它的两底面边长分别是80mm和400mm，高是200mm，计算制造这一下料斗所需铁板是多少？分析：问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高．
解：如图1所示，O、O1是两底面中心，则OO1是高，设EE1是斜高，E1F
OE，在
直角梯形OO1E1E中，
EE1
E1F2EF2
2
O
F
E
OO1EOE1O12
O1
图1
E1
2002
440802269mm，2
因为边数
4，两底边长a440a80斜高h269，
S正棱台侧
11cch
aah22
144408026928105mm2．2
52
答：制造这一下料斗约需铁板2810mm．评注：正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为
S正棱台侧
1cch，其中c、c为两底面周长，h是正棱台的斜高．2
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积圆柱、圆锥、台台的表面积和体积都要依靠公式计算，其底面半径、高、母线三元素之间的互求主要依赖于两个图形：轴截面图形、侧面展开图．例2已知圆锥的底面半径为R，高为H，其中有一个高为x的内接圆柱．求（1）圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？此时，圆柱的体积是多少？分析：注意圆柱和圆锥的联系，找出未知量和已知量的关系．
f解：做圆锥的轴截面，如图2所示．设所求圆柱的底面半径为r，则其侧面积为
S圆柱侧2rx．
因为
rHx，RH
Hx
RrRx，H
r
S圆柱侧2xR
R2R2x2Rxx．HH
2
R图2
（2）S圆柱侧的表达式中x的系数小于零，所以该二次函数有最大值，此时圆柱的高为：
x
RHR2RH，底面半径为：rR．2R2H222H
RHV圆柱r2x2R2H．228
3、球的表面积和体积球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的r