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高中物理解题方法之导数法
江苏省特级教师戴儒京
在物理解题中用导数法首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上找到合适的物理规律即函数再求函数的导数从而求解极值问题或其他问题然后再把数学问题回归到物理问题明确其物理意义。例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布
图1两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成
以两点电荷的连线的中点为原点以两点电荷的连线的中垂线为y轴则各点的电场强度可表示为
θcos
222ylQkE22222y
ly
ylQk因为原点的电场强度00E往上或往下的无穷远处的电场强度也为0所以从O点向上或向下都是先增大后减小这是定性的分析。那么在哪儿达到最大呢需要定量的计算。
方法1用三角函数法求导数
θcos
222ylQkE中把θta
ly代入得θθcossi
222
l
kQE。令zθθcossi
2求导数θθθ32si
cossi
2zsi
cos2si
22θθθ欲使
0z需0si
θ舍去或0si
cos222θθ即2ta
θ此处2
2l
y
将其代入得2max934l
kQ
E
。
f
2方法2用代数法求导数
E2
22
2
2ylyylQk令23
2
2ylyz对z求导数得2
52
222
3
2
2
3

ylyylz令其分子为0得22ly
代入得2max934l
kQ
E。
3图象
用Excel作图得到关于等量同种电荷的电场在其中垂线上的分布的图象图象的横轴y表示各点到原点的距离以两点电荷的连线的中点为原点纵轴表示中垂线上各点的电场强度。
E
2
15
1
05
05
1
15
2
E
图2两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的分布
此图象也验证了以上所得的结果图象中令5l则当532
5
222l
y处电场强度最大。
例2、电源输出功率最大问题的研究
例题如图所示R为电阻箱○V为理想电压表当电阻箱读数为
R12Ω时电压表读数为U14V当电阻箱读数为R25Ω时电压表读数为U25V求
1电源的电动势E和内阻r。图3电路图
2当电阻箱R读数为多少时电源的输出功率最大最大值Pm为多少
f
3
【解析】由闭合电路欧姆定律111UEUrR
222
UEUrR联立上两式并代入数据解得6EV1rΩ
2解法1代数法电功率表达式2
2EPRRr
将上式变形为2
24EPRrrR
由上式可知1RrΩ时P有最大值294mEPWr解法2导数法电功率表达式22EPRRr根据求导公式2
v
uvvuvu得导数RP42222rRrRRErRE4
2
rRRrrRE当rR时导数的分子为零即此时有极大值将1RrΩ代入P式得最大值2
94mEPWr
本题的物理意义可用图4图象说明
图4电源输出功r