。
不定积分求解方法及技巧小汇总
摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。一．不定积分的概念与性质
定义1如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有F’xfxdx则称F（x）是fx在区间I上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数fx在区间I上连续，那么fx在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）fx（xI）简单的说就是，连续函数一定有原函数定理2设F（x）是fx在区间I上的一个原函数，则
（1）F（x）C也是fx在区间I上的原函数，其中C是任意函数；（2）fx在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。
定义2设F（x）是fx在区间I上的一个原函数，那么fx的全体原函数F（x）C称为
fx在区间I上的不定积分，记为fxdx即fxdxFxC其中记号称为积分号，fx称为被积函数，fxdx称为被积表达式，x称为积分变量，
C称为积分常数。
性质1设函数fx和gx存在原函数，则fxgxdxfxdxgxdx性质2设函数fx存在原函数，k为非零常数，则kfxdxkfxdx
二．换元积分法的定理
如果不定积分gxdx不容易直接求出，但被积函数可分解为gxfx’x
做变量代换ux并注意到（‘x）dxdx则可将变量x的积分转化成变量u的积分，
可编辑修改
f。
于是有gxdxfx’xdxfudu如果fudu可以积出，则不定积分gxdx的计算问题就解决了，这就是第一类换元
法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。
定理1设Fu是fu的一个原函数，ux可导，则有换元公式
fx’xdxfuduFuCFxC第一类换元法是通过变量代换ux将积分fx’xdx化为fudu但有些积分需要用到形如xt的变量代换，将积分fxdx化为ft’t在求出后一
积分之后，再以xt的反函数t1X带回去，这就是第二类换元法。即
fxdxft’tdtt1X
为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t1（x）存在的条
件，给出下面的定理。
定理2设xt是单调，可导的函数，并且（‘t）0又设ft’t具有原函
数F（t）则fxdxft’tdtFtCF1xC
其中1（x）是x（t）的反函数。
三．常用积分公式
1基本积分公式
（1）kdxkxCk是常r