是等比数列；
2求数列a的前
项和S
a
＋11112a
1111－1，1证明∵a
＋1＝，∴＝＝＋，∴－1＝22a
2a
a
＋1a
＋12a
a
＋1211111又a1＝，∴－1＝∴数列a－1是以为首项，为公比的等比数列．3a1222
1
111
2解由1知－1＝2，∴a
＝1＋2
，∴a
＝
＋2
a
－1123
112
设T
＝＋2＋3＋＋
，则T
＝2＋3＋＋
＋
＋1222222222111－
22
＋211111
1
∴T
＝＋2＋3＋＋
－
＋1＝－
＋1＝1－
－
＋1＝1－
＋1222222122221－2
＋21∴T
＝2－
又1＋2＋3＋＋
＝
＋1．22
＋2
＋1
∴数列a的前
项和S
＝2－
＋22
三、等差数列与等比数列的综合运用例3已知等差数列a
的首项a1＝1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．1求数列a
的通项公式；12设b
＝
∈N，S
＝b1＋b2＋＋b
，是否存在最大的整数t，使得对任意的
a
＋3t
均有S
总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．36tt点拨解答本题的关键是求出a
的通项公式，注意S
大于总成立小于S
的最小3636值．解1由题意得a1＋da1＋13d＝a1＋4d2，整理得2a1d＝d2∵a1＝1，解得d＝0舍，d＝2∴a
＝2
－1
∈N．111112b
＝＝＝－，
a
＋32
＋12
＋11111111－＋－＋＋
－∴S
＝b1＋b2＋＋b
＝2223
＋111
＝1－
＋1＝22
＋1t假设存在整数t满足S
总成立，362解
f
＋1
1又S
＋1－S
＝－＝0，2
＋22
＋12
＋2
＋11t1∴数列S
是单调递增的．∴S1＝为S
的最小值，故，即t94364又∵t∈N，∴适合条件的t的最大值为8回顾归纳数列的综合问题形式上看来比较复杂，实质上求数列的通项公式和前
项和是解答这类综合问题的根本性问题和关键性所在．变式训练3设数列a
的首项a1＝1，前
项和S
满足关系式：3tS
－2t＋3S
－1＝3tt0，
＝234，．1求证：数列a
是等比数列；12设数列a
的公比为ft，作数列b
，使b1＝1，b
＝fb
＝234，．求数列
－1b
的通项b
；3求和：b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋＋b2
－1b2
－b2
b2
＋13＋2ta23＋2t1证明由a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，得a2＝，＝3ta13t又3tS
－2t＋3S
－1＝3t，①3tS
－1－2t＋3S
－2＝3t②a
2t＋3①－②，得3ta
－2t＋3a
－1＝0∴＝，
＝23，．3ta
－12t＋3∴数列a
r