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期相等。再将已知参数进行计算,就能够得出物体的飞行时间、射程、以及物体达到的最大高度。通过椭圆轨道模型,可以计算出当物体抛出方向与竖直方向之间角度为0°以及角度为90°时物体的飞行时间。由此可见,即使以较大的速度抛出,但是没有超过第一宇宙速度,那么就不能忽略万有引力对其的影响2。
2极限轨道模型
如果物体竖直向上抛出,速度为第一宇宙速度,物体在上升到最高点时需要花费多少时间,并且能够上升到多大的高度。对于此类问题,在对地面附近,物体竖直向上运动的过程中,在抛出的时候,由于初始速度比较小,因此上升的高度是有限的,据此,可将物体的运动状态靠左匀速直线运动。如果物体以较大的速度抛出,上升高度也会比较高,因此,对于物体的运动来说,万有引力会产生一定的影响。在这一情况下,可以建立极限轨道模型。
对于物体的运动轨道,可以近似为很扁的椭圆轨道,椭圆的短轴趋于圆心,椭圆的几个焦点是地心。在远地点和近地点的两个焦点之间,只具有很小的距离,几乎趋近于重合的状态。因此,在物体运动的最高点,距离地心的距离为椭圆的长轴长度。根据机械能守恒定律,结合第一宇宙速度,能够得出物体的最大上升高度等于地球半径R。再根据开普勒第二定律,能够得出在一定的时间t之内,物体运动的阴影面积,物体与地心连线所到过的面积,与半个椭圆面积和对应三角形面积之和相等。根据开普勒第三定律能够得出,物体绕地球运动椭圆周期的半轴长为R,与其绕地球运动半径为R的圆具有相同的周期,再结合第一宇宙速度,就能够得出以第一宇宙速度平竖直向上抛出物体时,物体上升到最高点的时间t,以及其上升的最大高度,与地球的半径R相等。
由此可知,如果物体以低于第二宇宙速度的较大速度竖直向上抛出,可将物体的运动轨道近似为椭圆轨道的极限,长轴的长度为最高点和地心之间的距离,短轴的长度无限趋近于零。利用这一极限模型,就能够更为高效的解决此类物理天体运动问题。
3圆形轨道模型
如果不考虑大气阻力,在地球表面附近,要探究物体以多大的水平速度抛出,才能摆脱地球引力,成为绕地球运动的人造卫星。可建立一个圆形轨道模型,将地球质量设为M、物体质量设为m、地球半径设为R、物体匀速运动的速度设为v、运行周期设为T,在G的万有引力常量条件下,进行根据相应的公式进行计算。将物体沿地球表面的运动看作匀速圆周运动,地球对物体的引力,是物体做圆周运动的向心力4。带入具r
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